A razão áurea: φ, Fibonacci e o pentágono
Subdivida o retângulo áureo em espiral, veja a razão de Fibonacci convergir para φ com a fórmula de Binet e meça a diagonal do pentágono.
Conceito: limite
Usado em 19 aulas e ferramentas de 5 disciplinas. Os conceitos ligam as áreas: a mesma ideia aparece em geometria, funções e probabilidade.
Geometria (2)
A história de π: de Arquimedes às séries
Cerque o círculo com polígonos de n lados, aperte as cotas de π como Arquimedes e compare a convergência das séries de Leibniz e Wallis.
Funções (6)
Derivada: a taxa de mudança
Arraste P e Q sobre a curva e veja a secante virar tangente quando h diminui; compare a derivada simbólica com a numérica para f(x) digitada.
Derivada: reta tangente, secante e gráfico de f′
Aproxime a tangente pela secante com h → 0, veja f′(a) como inclinação e leia o gráfico da derivada, com pontos críticos e a diferença entre quina e derivada.
Limites e continuidade
Aproxime x de um ponto pela esquerda e pela direita, classifique a descontinuidade (removível, salto, assíntota ou oscilação) e confira a definição ε-δ sobre o gráfico.
Equações: bisseção, Newton e secante passo a passo
Digite f(x) e acompanhe, passo a passo e com animação, como bisseção, Newton e secante buscam uma raiz, com o motivo de parada e o resíduo |f(x)| a cada iteração.
Integral definida: somas de Riemann e teorema fundamental
Aproxime a área sob uma curva com retângulos, trapézios ou parábolas (Simpson), compare o erro com n e veja a função área F(x) confirmar o teorema fundamental do cálculo.
Séries de Taylor: aproximação polinomial e raio de convergência
Aproxime eˣ, sen x, cos x, 1/(1 − x) e ln x por polinômios em torno de um centro, veja o erro crescer longe dele e o raio de convergência que separa o que converge do que não converge.
Números (7)
Fibonacci e a espiral
Monte a espiral de quadrados, veja a razão entre termos convergir para φ, gere sequências como a de Lucas e compare com a fórmula de Binet.
Números primos: crivo, espiral e contagem
Anime o crivo de Eratóstenes, veja os primos na espiral de Ulam, fatore qualquer número digitado e compare π(n) com n/ln n.
Paradoxos de Zenão: Aquiles e a tartaruga
Simule a corrida de Aquiles e da tartaruga em etapas de Zenão, veja a soma finita dos tempos e a série geométrica convergir para o limite.
Por que existem infinitos primos (Euclides)
Multiplique primos, some 1 e veja o resto 1 em cada um; o fator primo novo aparece sempre, o que mostra que nenhuma lista de primos está completa.
Sequências e séries
Calcule termos e somas de progressões aritméticas e geométricas, gere recorrências como Fibonacci e veja a convergência das somas parciais no gráfico.
Infinitos de tamanhos diferentes: Cantor
Troque dígitos na tabela da diagonal e veja o número construído escapar de todas as linhas; depois veja racionais e inteiros pareados com os naturais pelo zigue-zague.
O número e: juros, área e série
Veja (1 + r/n)ⁿ se aproximar de eʳ, a área sob 1/t valer 1 em t = e e o polinômio de Taylor copiar eˣ perto de zero.
Probabilidade (1)
Estimando π ao acaso (Monte Carlo)
Jogue pontos aleatórios num quadrado, conte os que caem no quarto de círculo e veja a estimativa de π convergir lentamente, com o erro acompanhado em gráfico.
Fractais (3)
Floco de Koch: área finita, perímetro infinito
Acompanhe a curva de Koch ganhar um dente a cada nível, veja o perímetro crescer por 4/3 e a área convergir, e calcule a dimensão fractal.
O jogo do caos
Sorteie vértices de um polígono, ande uma fração do caminho até eles e veja surgir o triângulo de Sierpinski ou um pentágono fractal. Calcule a dimensão da figura.
Mandelbrot e Julia
Arraste o ponto c no conjunto de Mandelbrot, veja a Julia correspondente, dê zoom nas duas figuras e ajuste c e o número de iterações pelos campos.