Paradoxos de Zenão: Aquiles e a tartaruga

Paradoxos de Zenão: Aquiles e a tartaruga

Zenão de Eleia, por volta de 450 a.C., propôs paradoxos que pareciam mostrar que o movimento era impossível. O mais famoso é o de Aquiles e a tartaruga: o herói corre mais que a tartaruga, mas dá uma vantagem a ela. A aula usa a razão de 10 para 1 entre as velocidades. Quando Aquiles chega ao ponto onde ela estava, ela já avançou um pouco. Assim, parece que ele nunca a alcança.

Onde está o engano

O argumento divide a corrida em infinitas etapas, e cada uma leva um tempo cada vez menor. O problema é achar que infinitas etapas precisam de tempo infinito. Não precisam: a soma de tempos cada vez menores pode ser finita.

Se Aquiles corre 10 metros por segundo e a tartaruga 1 metro por segundo, com 100 metros de vantagem, o encontro acontece em 100/9 segundos, pouco mais de 11 segundos. A conta é simples, e o paradoxo some.

As etapas de Zenão

Na aula, as etapas são numeradas. Na primeira, Aquiles vai da origem até a posição de partida da tartaruga, 100 metros. Enquanto isso, a tartaruga avança. Na segunda, Aquiles vai até o ponto onde ela estava no fim da primeira etapa, uma distância menor. E assim por diante.

Se ρ = vT / vA é a razão das velocidades, cada distância é ρ vezes a anterior: g_k = d₀ · ρ^(k − 1). O tempo de cada etapa é g_k / vA, e a soma dos tempos é

d₀ / vA · (1 + ρ + ρ² + …) = d₀ / (vA − vT).

A soma é finita, e o resultado bate exatamente com a conta direta do encontro. Ou seja: as etapas infinitas acontecem todas antes de um instante finito.

A matemática que resolveu

A ideia por trás disso é a de série convergente: uma soma infinita pode ter valor finito. A série geométrica Σ rᵏ converge para 1 / (1 − r) sempre que |r| < 1. A aula mostra as somas parciais: com r = 0,5 elas se aproximam de 2 depressa; com r = 0,9, muito mais devagar, e a soma só chega perto do limite após muitos termos.

Foi preciso o cálculo, com limites formalizados por Cauchy e Weierstrass no século XIX, para explicar isso com rigor. Os paradoxos de Zenão continuam úteis como exercício de pensamento sobre infinito e continuidade.

Quando o paradoxo volta

Se vT ≥ vA, a razão ρ é 1 ou mais, a série não converge, e Aquiles de fato não alcança a tartaruga. A aula trata esse caso com a mensagem "não há encontro". O paradoxo não é uma contradição: é um caso em que a série diverge, e a conta responde à pergunta.

Aplicações

• Física: o movimento contínuo é modelado por limites; a velocidade é a derivada da posição.
• Economia: somas geométricas aparecem em juros, em multiplicadores e em rendas perpétuas.
• Computação: a série geométrica dá o tempo total de algoritmos que dividem o problema pela metade a cada passo.

Curiosidade

Os textos de Zenão se perderam, e o que sabemos vem de Aristóteles e de outros comentadores. Por isso os paradoxos são conhecidos principalmente pelas críticas que provocaram. Aristóteles, por exemplo, discutiu a noção de infinito potencial, que está no centro da solução moderna.

Perguntas de revisão

1. Por que Aquiles alcança a tartaruga, apesar do paradoxo?

Resposta: porque a soma de infinitas etapas, cada vez menores, pode ter valor finito.

1. Qual conceito matemático resolveu o paradoxo com rigor?

Resposta: o limite e a soma de séries convergentes.