Séries de Taylor: aproximação polinomial e raio de convergência

Séries de Taylor

Uma função suave pode ser aproximada perto de um ponto a por um polinômio. O polinômio de Taylor de grau n em torno de a é

P_n(x) = Σ (k = 0 até n) f⁽ᵏ⁾(a) / k! · (x − a)ᵏ

Os coeficientes c_k = f⁽ᵏ⁾(a)/k! são as derivadas de ordem k no centro. Com n = 0 temos só o valor f(a); com n = 1, a reta tangente (a derivada da aula anterior); com graus maiores, o polinômio acompanha a curva por mais tempo.

Exemplos com coeficientes conhecidos

• eˣ em 0: todas as derivadas valem 1, então c_k = 1/k!. Assim, eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + …
• sen x em 0: as derivadas se repetem em ciclo de 4 (cos, −sen, −cos, sen). Só os termos ímpares sobrevivem: sen x ≈ x − x³/6 + x⁵/120.
• cos x em 0: simetricamente, cos x ≈ 1 − x²/2 + x⁴/24.
• 1/(1 − x) em 0: é a série geométrica 1 + x + x² + …, válida para |x| < 1.
• ln x em a > 0: c_k = (−1)^(k−1) / (k · a^k) para k ≥ 1. Em a = 1, ln(x) ≈ (x − 1) − (x − 1)²/2 + …

Erro e raio de convergência

O erro |f(x) − P_n(x)| costuma crescer com a distância |x − a| e cair ao aumentar n. Existe um raio de convergência R: a série converge para |x − a| < R e diverge para |x − a| > R. Para eˣ, sen x e cos x, R = ∞: convergem em toda a reta. Para 1/(1 − x), R é a distância de a ao polo 1. Para ln x, R é a distância de a ao ponto 0, onde a função deixa de ser definida. Fora de R, aumentar n piora a aproximação, e não melhora.

Dentro do raio, a série representa a função; na borda e fora, não. A ferramenta destaca a região |x − a| < R no gráfico.

Por que funciona

Quando um polinômio tem as mesmas derivadas que f até a ordem n no ponto a, ele concorda com f até uma ordem de erro que depende de f⁽ⁿ⁺¹⁾. Isso dá uma garantia local: perto de a a aproximação é muito boa.

Aplicações

Calculadoras e processadores aproximam eˣ, sen x e ln x por polinômios de Taylor, pois somar e multiplicar é rápido. A física usa a aproximação de primeira ordem em quase toda modelagem (pequenos ângulos: sen θ ≈ θ, que dá o período do pêndulo simples para pequenas oscilações). Em estatística, a expansão de Taylor fundamenta o método delta, que estima a variância de funções de médias.