Derivada: a taxa de mudança

Derivada: a taxa de mudança

Quando você olha o velocímetro do carro, ele mostra a velocidade naquele instante. Mas a velocidade média é só a distância dividida pelo tempo de uma viagem. A derivada é a ferramenta que resolve essa diferença: ela mede como uma quantidade muda em cada ponto.

A inclinação de uma curva

Para uma função f(x), a taxa média de variação entre x e x + h é (f(x + h) − f(x)) / h. Esse quociente é a inclinação da secante, a reta que passa pelos pontos P = (x, f(x)) e Q = (x + h, f(x + h)). A derivada é o que acontece quando h fica cada vez menor, até o limite. Geometricamente, é a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto.

A definição formal é:

f'(x) = lim (h → 0) de (f(x + h) − f(x)) / h

Por exemplo, para f(x) = x², a derivada é 2x. No ponto x = 3, a inclinação é 6: a curva sobe seis unidades para cada uma no eixo horizontal.

Por que a secante vira tangente

Na aula, o ponto Q é arrastado sobre a curva e a diferença h = x(Q) − x(P) fica visível no painel. Com h grande, a secante corta a curva em dois pontos e a inclinação é uma média. Com h pequeno, a secante fica praticamente colada à curva, e sua inclinação se aproxima da tangente. O painel mostra essa diferença, que cai quando h cai.

Quando h = 0, o quociente tem divisão por zero. Por isso a derivada não é calculada pela substituição direta de h = 0, e sim pelo limite. A aula trata esse caso com a mensagem "indefinida", e não com um número.

Regras para calcular

Não é preciso calcular o limite toda vez. Algumas regras cobrem a maioria dos casos:

• Potência: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, por exemplo (x³)' = 3x².
• Soma: (f + g)' = f' + g'.
• Produto: (f·g)' = f'·g + f·g'.
• Cadeia: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). É a regra que faz (sen 2x)' = 2 cos 2x.
• Funções clássicas: (sen x)' = cos x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x.

A aula calcula a derivada simbólica pelas regras e a derivada numérica por diferença central, (f(x + ε) − f(x − ε)) / (2ε). Quando as duas concordam, a conta está certa.

Duas origens

Isaac Newton desenvolveu a ideia para estudar movimento, e Gottfried Leibniz a formalizou de forma independente com a notação dy/dx que usamos até hoje. A discussão sobre quem chegou primeiro foi longa e amarga, mas ambos contribuíram de forma decisiva.

Onde ela aparece

Derivadas descrevem velocidade e aceleração na física, custo marginal em economia e a sensibilidade de modelos de aprendizado de máquina. Sempre que a pergunta é "quanto muda isso se eu mudar um pouco aquilo?", a derivada é a resposta.

Pontos em que a derivada vale zero são candidatos a máximos e mínimos locais. Por isso, ao projetar uma embalagem de volume fixo com o menor custo de material, a derivada do custo indica a forma ideal.

Curiosidade

A notação f'(x) foi criada por Lagrange, e dy/dx por Leibniz. Ambas convivem até hoje: a de Leibniz é melhor para mudanças de variável, e a de Lagrange, mais compacta.

Perguntas de revisão

1. O que a derivada de uma função mede em cada ponto?

Resposta: a taxa instantânea de variação, ou a inclinação da tangente. Não é o valor máximo, nem a área sob a curva.

1. Qual é a derivada de f(x) = x²?

Resposta: 2x. No ponto x = 3, a derivada vale 6.