Sequências e séries

Sequências e séries

Uma sequência é uma lista ordenada de números. Uma série é a soma dos termos de uma sequência. Esta ferramenta trabalha com quatro casos.

Progressão aritmética

Cada termo é o anterior mais uma razão r: aₙ = a₁ + (n − 1)·r. A soma dos n primeiros termos é Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Por exemplo, a soma dos 100 primeiros ímpares (a₁ = 1, r = 2) é 100² = 10 000.

Progressão geométrica

Cada termo é o anterior multiplicado por q: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. A soma finita é Sₙ = a₁(1 − qⁿ)/(1 − q). Se |q| < 1, a soma infinita converge para a₁/(1 − q): com q = 0,5 e a₁ = 1, o limite é 2. Se |q| ≥ 1, os termos não tendem a zero e a série não converge.

Recorrência linear de ordem 2

Cada termo depende dos dois anteriores: xₙ = p·xₙ₋₁ + q·xₙ₋₂. Fibonacci é o caso p = q = 1 com x₀ = 0 e x₁ = 1. A equação característica t² − pt − q = 0 dá a razão de crescimento: para Fibonacci, a raiz dominante é o número áureo, (1 + √5)/2 ≈ 1,618. Com raízes complexas, os termos oscilam.

Convergência e somas parciais

Uma série converge quando as somas parciais Sₙ se aproximam de um limite. O gráfico mostra Sₙ para n crescendo. Na p-série Σ 1/kˢ, a soma converge para s > 1 e diverge para s ≤ 1. A harmônica s = 1 diverge muito devagar: a soma cresce como ln n, então milhares de termos ainda parecem "pequenos".

Limites da ferramenta

Até 100 000 termos são calculados. Valores que estouram a faixa de ponto flutuante aparecem como "grande demais" em vez de infinito silencioso.