Equações: bisseção, Newton e secante passo a passo

Equações: encontrar raízes

Uma raiz de f é um número r com f(r) = 0. Resolver f(x) = g(x) é achar as raízes de f(x) − g(x). Muitas equações não têm fórmula fechada (como cos x = x), então usamos métodos numéricos que refinam uma aproximação passo a passo.

Bisseção

Se f é contínua em [a, b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, o teorema do valor intermediário garante uma raiz no intervalo. A bisseção divide o intervalo ao meio, mantém a metade em que a troca de sinal continua acontecendo e repete. A cada passo a largura cai pela metade. É lenta, mas segura: se a condição de sinais vale, sempre converge.

Newton

O método de Newton usa a tangente: a partir de x_k, a tangente cruza o eixo x em

x_{k+1} = x_k − f(x_k) / f′(x_k)

Quando funciona, converge muito rápido: o número de casas corretas dobra a cada passo perto da raiz. Precisa de f′, pode falhar se f′(x_k) = 0 (tangente horizontal), e depende do chute inicial: longe da raiz, pode divergir ou saltar para outra raiz.

Secante

A secante substitui a derivada pela inclinação entre os dois últimos pontos:

x_{k+1} = x_k − f(x_k)·(x_k − x_{k−1}) / (f(x_k) − f(x_{k−1}))

Não precisa de f′ e converge um pouco mais devagar que Newton (ordem aproximada 1,6). Se f(x_k) = f(x_{k−1}), a secante é horizontal e o método não avança.

Critérios de parada e resíduo

Um método para quando o passo é menor que a tolerância, ou ao atingir o limite de passos. Um resíduo pequeno |f(x)| é necessário, mas não suficiente: uma função muito achatada pode ter |f| pequeno longe da raiz. Por isso a ferramenta mostra a situação do método (convergiu, derivada nula, divergiu, sem mudança de sinal) e não só o número.

Aplicações

Métodos de raízes calculam taxas de juros (a TIR é a raiz de um fluxo de caixa), pontos de equilíbrio de modelos, a posição de planetas em órbitas keplerianas (a equação de Kepler) e o cálculo de raízes de polinômios em engenharia. Newton é o núcleo de muitos solvers de otimização e de sistemas de equações.