A história de π: de Arquimedes às séries

A história de π

O número π é a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e seu diâmetro. Essa razão é sempre a mesma, seja a circunferência grande ou pequena, e isso já era conhecido por civilizações antigas. O desafio sempre foi calcular seu valor com precisão cada vez maior.

Polígonos de Arquimedes

Por volta de 250 a.C., Arquimedes de Siracusa cercou um círculo por polígonos regulares, primeiro de 6 lados, depois de 12, 24, 48 e 96. Com os perímetros desses polígonos, ele mostrou que π está entre 3 + 10/71 e 3 + 1/7. É uma das primeiras estimativas rigorosas do número.

A ideia é simples. Um polígono regular inscrito de n lados, em um círculo de raio 1, tem semiperímetro n·sen(π/n), que é menor que π. O polígono circunscrito, com lados tangentes ao círculo, tem semiperímetro n·tg(π/n), que é maior que π. Assim, π fica preso entre as duas cotas, e a aula mostra essas cotas para qualquer n. Para n = 96, a cota inferior é 3,1410 e a superior, 3,1427, o que contém os valores de Arquimedes.

Arquimedes não tinha calculadora nem a trigonometria moderna. As raízes quadradas que ele usou foram calculadas à mão, o que torna o resultado ainda mais notável.

Séries infinitas

No século XVII, a ideia mudou. Em vez de cercar o círculo, passou-se a somar infinitas parcelas. Duas séries clássicas aparecem na aula:

• Leibniz (1673): π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ..., ou seja, π = 4 · Σ (−1)ᵏ / (2k + 1). É elegante, mas converge devagar: depois de m termos, o erro é da ordem de 2/m (e menor que 4/(2m + 1) pelo critério de Leibniz).
• Wallis (1655): π/2 = (2·2)/(1·3) · (4·4)/(3·5) · (6·6)/(5·7) · ..., um produto infinito. Converge bem mais rápido, e a diferença aparece no gráfico da aula.

Para ver a diferença, aumente m no slider e observe as duas curvas se aproximarem da linha de π. A série de Leibniz oscila em torno do valor, enquanto a de Wallis sobe de forma mais direta.

De Ludolph aos computadores

No século XVII, Ludolph van Ceulen calculou π com 35 casas decimais usando polígonos com um número enorme de lados. Com séries infinitas, como a de Leibniz e as de Machin, o cálculo ficou muito mais rápido, e hoje computadores já passaram de 100 trilhões de casas decimais (o recorde cresce a cada ano).

Esses cálculos não servem apenas para vaidade. Eles testam algoritmos e hardware, e a precisão necessária para engenharia costuma ser muito menor que isso: cerca de 40 casas decimais bastam para calcular a circunferência do universo observável com erro menor que o diâmetro de um átomo de hidrogênio.

Não é fração

Em 1761, Lambert provou que π é irracional, ou seja, não pode ser escrito como fração de inteiros. Em 1882, Lindemann mostrou que π é transcendental: não é raiz de nenhum polinômio com coeficientes inteiros. Isso encerrou de vez a famosa questão de "quadrar o círculo" com régua e compasso.

Aplicações

• Engenharia e física: π aparece em ondas, oscilações, áreas e volumes de qualquer figura curva.
• Estatística: a distribuição normal tem π na constante de normalização.
• Testes de computadores: calcular π é um teste clássico de desempenho e de precisão numérica.

Curiosidade

O símbolo π só virou padrão com William Jones, em 1706, e depois foi popularizado por Euler. Antes disso, cada autor escrevia a razão de um jeito diferente. Hoje, o dia 14 de março (3/14) é lembrado como Dia de π.

Perguntas de revisão

1. Qual foi a estratégia de Arquimedes para estimar π?

Resposta: cercar o círculo por polígonos regulares, cada vez com mais lados. Não é medir o diâmetro de uma roda com corda, nem somar todos os números.

1. O que Lindemann provou em 1882?

Resposta: que π é transcendental (e, portanto, também irracional).