O jogo do caos

O jogo do caos

Escolha um ponto qualquer do plano. Sorteie um dos vértices de um polígono regular e ande do ponto atual uma fração r do caminho até esse vértice. Repita milhares de vezes, sempre sorteando um vértice novo. Os pontos desenhados formam uma figura bem definida, que não depende do ponto de partida, desde que alguns passos iniciais sejam descartados.

Com triângulo e r = 1/2, a figura é o triângulo de Sierpinski: um triângulo com um buraco no centro, que se repete em cada um dos três triângulos menores, infinitamente.

Por que aparece essa figura?

Cada passo com r = 1/2 move o ponto para o ponto médio entre a posição atual e um vértice. Se o ponto já está dentro de um dos três triângulos menores, o passo o mantém dentro dele. Assim, a figura final é formada por três cópias de si mesma, cada uma reduzida pela metade. O buraco central é o triângulo dos pontos médios, que nunca é atingido depois do começo.

Essa é a semelhança da figura: N = 3 cópias, cada uma com fator k = 2. A dimensão de semelhança é ln 3 ÷ ln 2 ≈ 1,585: maior que a de uma linha (1), menor que a de um plano (2).

O efeito da fração r

• Com r pequeno, os pontos ficam perto dos vértices e a figura é espalhada.
• Com r = 1/2 e 3 vértices, a figura é o triângulo de Sierpinski.
• Com 5 vértices e r = 0,618 (o inverso da razão áurea), a figura é um pentágono fractal, cheio de pentágonos menores e rotacionados. Nesse caso as cópias se sobrepõem, e a dimensão de semelhança passa de 2. A fórmula deixa de medir a figura, que preenche uma região.

A leitura Diferença de r para 1/φ no painel mostra quão perto da razão áurea você está.

Como usar a aula

• Escolha n (3 a 12) e r. Os vértices aparecem em destaque; o sorteio é reproduzível pela semente, então o link da configuração reabre o mesmo desenho.
• Animar dá pontos continuamente; +10 000 passos adianta o jogo; Recomeçar zera a figura com a mesma semente.
• Dê zoom e arraste a figura: ela é redesenhada com todos os pontos guardados.

Aplicações

• Compressão de imagens: o sistema de funções iteradas (IFS), do qual o jogo do caos é um caso especial, codifica uma imagem como poucas transformações afins que a reconstroem.
• Modelos de plantas: samambaias são geradas por quatro transformações afins, sorteadas com probabilidades diferentes (o IFS de Barnsley).
• Geração de texturas e terrenos: sorteios de transformações geram padrões naturais com pouco código.

Curiosidades

• O triângulo de Sierpinski foi descrito por Wacław Sierpiński em 1915. Ele aparece também no triângulo de Pascal: pintando os números ímpares, surge a mesma figura.
• O jogo do caos foi popularizado por Michael Barnsley, no livro Fractals Everywhere, de 1988.
• O resultado não depende do ponto inicial: depois de alguns passos, qualquer começo cai sobre a figura. Por isso a aula descarta os primeiros passos antes de desenhar.