Integral definida: somas de Riemann e teorema fundamental

Integral definida e somas de Riemann

A integral definida de f de a até b, ∫ₐᵇ f(x) dx, é a área com sinal entre o gráfico de f e o eixo x: área acima do eixo conta positivo, abaixo conta negativo. Para calcular, aproxima-se a área por retângulos finos e soma-se. Com mais retângulos, a aproximação melhora; o limite desse processo é a integral.

Os métodos

Com n subintervalos de largura h = (b − a)/n:

• Soma à esquerda: altura f(x_i) no início de cada subintervalo;
• Soma à direita: altura f(x_{i+1}) no fim;
• Ponto médio: altura f no meio;
• Trapézios: média de f nos dois extremos (um trapézio em cada subintervalo);
• Simpson: uma parábola passa por três pontos consecutivos; exige n par.

A ordem de erro é diferente: somas à esquerda e à direita erram proporcionalmente a 1/n; ponto médio e trapézio erram proporcionalmente a 1/n²; Simpson, a 1/n⁴. Ao dobrar n, o erro dos dois primeiros cai pela metade (ou quase), e o de Simpson cai cerca de 16 vezes. A ferramenta mostra o erro para n = 10, 100 e 1000 para confirmar isso.

Simpson é exato para polinômios de grau até 3, porque a parábola interpolada coincide com o polinômio.

Valor de referência

O valor "exato" da ferramenta é uma integração numérica adaptativa de alta precisão, não uma primitiva simbólica. Ela serve de referência para medir o erro das somas.

Teorema fundamental do cálculo

Seja F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, a função área. O teorema diz que F é derivável e F′(x) = f(x) em todo ponto onde f é contínua. Isso liga os dois grandes temas do cálculo: integrar é o processo inverso de derivar. A ferramenta mostra o gráfico de F e, em x₀, a inclinação numérica de F comparada com f(x₀).

Consequência prática: para calcular uma integral, basta achar uma primitiva G de f. Então ∫ₐᵇ f(x) dx = G(b) − G(a).

Aplicações

Integrais calculam áreas, volumes e comprimentos de curva; o trabalho de uma força é a integral da força ao longo do deslocamento; a probabilidade em estatística é a área sob uma densidade; e o total acumulado de uma taxa, como a distância percorrida a partir da velocidade, é uma integral. Somas de Riemann são exatamente como computadores aproximam essas quantidades quando não há fórmula fechada.