Triângulo e seus centros notáveis

Arraste os vértices e veja, em tempo real, lados, ângulos, área, tipo do triângulo, os quatro centros notáveis e a reta de Euler.

Nível 2 · Intermediário Aula Origem: nova

Triângulo e seus centros notáveis

Um triângulo tem três vértices, A, B e C. Cada vértice é um ponto arrastável no gráfico: use o mouse, o dedo ou as setas do teclado depois de focar o gráfico e selecionar um ponto com Tab/PageUp/PageDown. Também é possível digitar as coordenadas no painel de controles. Os dois caminhos mudam a mesma figura.

O que observar

A soma dos ângulos internos é sempre 180°. Confira no painel de resultados.
O circuncentro O é o centro do círculo que passa pelos três vértices. Ele é equidistante dos vértices.
O incentro I é o centro do círculo inscrito, tangente aos três lados. Ele é equidistante dos lados.
O baricentro G é a média das coordenadas dos vértices.
O ortocentro H é o encontro das três alturas.

Em qualquer triângulo não degenerado, O, G e H estão alinhados (reta de Euler) e G divide o segmento OH na razão 1 : 2, isto é, OG : GH = 1 : 2.

Fórmulas usadas

Área: fórmula do cadarço (shoelace), por soma de determinantes.
Circunraio: R = abc / (4K), em que K é a área.
Inraio: r = 2K / (a + b + c).
Ortocentro: H = A + B + C - 2O.

Tipos de triângulo

Pelos lados: equilátero (três lados iguais), isósceles (dois iguais) ou escaleno (todos diferentes). Pelos ângulos: acutângulo (todos menores que 90°), retângulo (um ângulo de 90°) ou obtusângulo (um ângulo maior que 90°).

Ligue o encaixe na grade para posicionar vértices em múltiplos de 0,5 e facilitar as contas.

Desafios

Arraste o vértice C até que o ângulo em C seja de 90 graus. Onde está o circuncentro em relação à hipotenusa?
Dica
Ative apenas o circuncentro e observe o ponto médio do lado oposto ao ângulo reto.
Faça o triângulo ser equilátero. Quais centros coincidem?
Dica
Compare as coordenadas dos quatro centros no painel de resultados.
Em um triângulo obtusângulo, em que lado de fora do triângulo fica o ortocentro?
Dica
Arraste um vértice para formar um ângulo maior que 90 graus e ligue a reta de Euler.
Por que a razão OG : GH permanece 1 : 2 quando você move os vértices?
Dica
G é a média dos vértices, e H = A + B + C - 2O, então H - G = 2 (G - O).

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