Lei dos senos e lei dos cossenos: resolvendo triângulos

Lei dos senos e lei dos cossenos: resolvendo triângulos

Resolver um triângulo é descobrir todos os seus lados e ângulos a partir de três dados. Nem todo conjunto de três dados basta, e alguns conjuntos levam a mais de uma resposta. Esta ferramenta resolve os cinco casos clássicos:

• SSS: três lados conhecidos;
• SAS: dois lados e o ângulo entre eles;
• ASA: dois ângulos e o lado entre eles;
• AAS: dois ângulos e um lado que não está entre eles;
• SSA: dois lados e um ângulo oposto a um deles. É o caso ambíguo.

Os vértices são A, B e C. O lado a é oposto a A, o lado b é oposto a B e o lado c é oposto a C.

O que observar

• Escolha o modo no seletor Dados conhecidos. Os campos que não são usados no modo escolhido são ignorados.
• O painel mostra o número de triângulos. No caso SSA pode haver dois, um ou nenhum.
• Quando há duas soluções, elas aparecem sobrepostas: a primeira é cheia e a segunda é tracejada, com o vértice B' no lugar do B.
• As igualdades a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R aparecem como conferência, e a área pela fórmula de Heron coincide com ½ · a · b · sen C.

As leis

Lei dos cossenos: a² = b² + c² − 2bc · cos A (e análogas para b e c). Ela serve para o caso SAS, em que o lado oposto ao ângulo dado é o que falta, e para o caso SSS, em que os ângulos se obtêm por cos A = (b² + c² − a²) / (2bc).

Lei dos senos: a / sen A = b / sen B = c / sen C = 2R, em que R é o raio do círculo circunscrito. Ela serve para os casos ASA, AAS e SSA, em que se conhece um par ângulo-lado oposto.

O caso ambíguo (SSA)

Com os lados a e b e o ângulo A, a lei dos senos dá sen B = b · sen A / a. O valor de B pode ser o ângulo agudo B1 ou o obtuso B2 = 180° − B1, e cada um vale somente se A + B < 180°.

• Se b · sen A > a, nenhum triângulo existe: o lado a não alcança a base.
• Se b · sen A = a, existe um único triângulo, retângulo em B.
• Se b · sen A < a, existe um triângulo, e ele é único quando a ≥ b (nesse caso o ângulo B1 é o único que serve).
• Se b · sen A < a < b, existem dois triângulos, porque B1 e B2 são válidos.

Por que é verdade

A lei dos cossenos sai de projetar um lado sobre outro. Se AD é a altura de A sobre BC, então c² = (BD)² + h² e b² = (BC − BD)² + h², com h = b sen C e CD = BC − BD = b cos C. Desenvolvendo c² = (a − b cos C)² + b² sen² C, aparece o termo −2ab cos C.

A lei dos senos sai de calcular a área de duas maneiras: ½ · a · b · sen C = ½ · b · c · sen A = ½ · a · c · sen B. Igualar as expressões e dividir por abc/2 dá a lei. A constante 2R vem de relacionar a com o círculo circunscrito: o ângulo inscrito em A enxerga o lado a sob o ângulo A, e isso dá a = 2R sen A.

Aplicações

• Topografia e navegação: medir distâncias inacessíveis, como a largura de um rio, usando dois pontos de observação e os ângulos entre eles. É o caso ASA.
• Astronomia: calcular distâncias entre astros a partir de ângulos observados. Os gregos usavam essas relações nas tabelas de cordas.
• Engenharia e mecânica: resolver treliças e mecanismos articulados, em que barras formam triângulos e os ângulos são conhecidos.
• Computação gráfica: triangulação de malhas e cálculo de normais de superfícies.

Curiosidade

O caso SSA é ambíguo porque o lado a pode "girar" em torno do ponto C e cortar a semirreta de A em duas posições. Muitos problemas de prova falham exatamente aí: esquecer a segunda solução ao aplicar a lei dos senos é um erro clássico. Por isso, toda vez que usar sen B = b · sen A / a, verifique se A + B2 ainda é menor que 180°.