Teoremas de Ceva e Menelau

Teoremas de Ceva e Menelau

Os dois teoremas tratam de razões entre segmentos sobre os lados de um triângulo. Em ambos, marcamos um ponto em cada lado (ou no prolongamento dele) e comparamos as razões em que cada lado foi dividido.

Considere o triângulo ABC, com D sobre BC, E sobre CA e F sobre AB. Use as razões com sinal: se o ponto está entre os vértices, a razão é positiva; se está no prolongamento do lado, a razão é negativa.

O que observar

• O painel mostra as três razões BD / DC, CE / EA e AF / FB e o produto delas.
• Ceva: as cevianas AD, BE e CF concorrem em um ponto quando o produto vale +1.
• Menelau: os pontos D, E e F estão alinhados quando o produto vale −1.
• O ponto P = AD ∩ BE aparece na figura. Quando CF passa por P, as três cevianas concorrem; a distância de P à ceviana CF mede o quanto elas erram.

Teorema de Ceva

Se AD, BE e CF concorrem em um ponto, então

(BD / DC) · (CE / EA) · (AF / FB) = 1

Vale também a recíproca: se o produto é 1 e os pontos estão nos lados (não nos prolongamentos), então as três cevianas concorrem.

Teorema de Menelau

Se D, E e F estão alinhados, então

(BD / DC) · (CE / EA) · (AF / FB) = −1

Com razões com sinal, a reta que corta os três lados precisa passar por um número ímpar de prolongamentos, o que dá o sinal negativo. Por isso o produto vale −1 para pontos alinhados e +1 para cevianas concorrentes, mesmo com as mesmas razões.

Por que é verdade

Para Ceva, a prova clássica usa áreas. Como BD / DC = área(ABD) / área(ADC), o produto das três razões é um quociente de áreas que se cancelam quando as cevianas concorrem. Para Menelau, o argumento é parecido, usando a área de triângulos que compartilham vértices com a reta transversal.

Uma forma prática de conferir é usar a lei dos senos nos triângulos formados pelas cevianas: cada razão vira uma razão de senos, e os senos se cancelam no produto.

Aplicações

• Medianas: se D, E, F são pontos médios, cada razão vale 1 e o produto é 1. É por isso que as três medianas concorrem.
• Bissetrizes: a bissetriz de A divide BC na razão BD / DC = AB / AC. Com as três bissetrizes, o produto dá 1 e elas concorrem no incentro.
• Alturas: os pés das alturas também satisfazem Ceva, e as alturas concorrem no ortocentro.
• Gergonne e Nagel: as cevianas que vão aos pontos de contato do incírculo (ponto de Gergonne) ou dos excírculos (ponto de Nagel) concorrem, como o predefinido na aula mostra.
• Colinearidade: provar que três pontos construídos sobre os lados estão alinhados, como em muitos problemas de olimpíada.

Curiosidade

O teorema de Menelau aparece no tratado Sphaerica, de Menelau de Alexandria (cerca do ano 100), que o usou para trabalhar com triângulos esféricos. O teorema de Ceva foi publicado por Giovanni Ceva em 1678, no livro De lineis rectis, junto com outros resultados sobre retas que se cortam. Os dois teoremas são casos particulares de um princípio mais geral da geometria projetiva: a razão cruzada se preserva por projeção.