Classificação de triângulos e soma dos ângulos

Classificação de triângulos e soma dos ângulos

Um triângulo é a figura formada por três pontos não alinhados, ligados por três segmentos. Os pontos são os vértices, os segmentos são os lados e as aberturas nos vértices são os ângulos internos.

Três lados formam um triângulo?

Nem toda terna de comprimentos forma um triângulo. A condição é a desigualdade triangular: a soma de quaisquer dois lados tem de ser maior que o terceiro.

a + b > c, a + c > b e b + c > a

Por exemplo, com 1, 2 e 5 não dá: 1 + 2 = 3 é menor que 5, e os lados não alcançam o encontro. Com 2, 3 e 5 a soma 2 + 3 é exatamente 5: os vértices caem sobre a mesma reta, e o triângulo é degenerado, com área zero.

Classificação pelos lados

• Equilátero: três lados iguais.
• Isósceles: dois lados iguais.
• Escaleno: três lados diferentes.

Classificação pelos ângulos

Usamos o maior lado para decidir o tipo. Seja c o maior lado:

• Acutângulo: c² < a² + b². Todos os ângulos são agudos.
• Retângulo: c² = a² + b². Um ângulo é reto (teorema de Pitágoras).
• Obtusângulo: c² > a² + b². Um ângulo é obtuso.

O terno 3, 4, 5 é retângulo, porque 5² = 3² + 4².

Como calcular um ângulo a partir dos lados

A lei dos cossenos relaciona os lados e o ângulo oposto a um deles. Para o ângulo A, oposto ao lado a:

a² = b² + c² - 2 b c cos A, logo cos A = (b² + c² - a²) / (2 b c)

A calculadora constrói o triângulo com esse método: põe A na origem, B sobre o eixo horizontal e calcula C a partir das distâncias.

Por que a soma dos ângulos é 180°

Trace por um vértice a reta paralela ao lado oposto. Os dois ângulos das pontas da reta, alternos internos com os ângulos do triângulo, encostam no ângulo do vértice oposto e formam um ângulo raso. Assim, a soma dos três ângulos internos é 180°. É isso que o recorte mostra: os três setores coloridos, encostados no mesmo vértice, cobrem exatamente meia volta.

Área por Heron

Com os três lados, a área não precisa da altura. Seja s = (a + b + c) / 2 o semiperímetro:

Área = √(s (s - a) (s - b) (s - c))

Se os lados não formam triângulo, o produto dentro da raiz é negativo ou zero, e a área é zero.

Aplicações

• Topografia: medir três distâncias de um terreno basta para calcular a área do lote.
• Treliças e pontes: o triângulo é a forma rígida básica, porque não muda de forma sem mudar os lados.
• Navegação e astronomia: a lei dos cossenos calcula distâncias entre pontos a partir de ângulos medidos.

Curiosidade

O triângulo é a única figura com lados fixos que não se deforma: um quadrilátero articulado muda de forma, mas um triângulo com três lados rígidos não muda. Por isso aparece tanto na construção civil.