Ponto, reta e distância

Ponto, reta e distância

Num plano com coordenadas, cada ponto é um par (x; y). Uma reta fica definida por dois pontos distintos, e a partir deles podemos calcular quase tudo: o comprimento do segmento, o ponto médio, a inclinação e a equação.

Distância entre dois pontos

Para A = (x₁; y₁) e B = (x₂; y₂), o comprimento do segmento AB é

d(A, B) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

É o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo retângulo de catetos Δx e Δy. Por isso, quando Δx = 3 e Δy = 4, a distância é exatamente 5.

Ponto médio

O ponto M que divide AB ao meio tem coordenadas médias:

M = ((x₁ + x₂) / 2 ; (y₁ + y₂) / 2)

Inclinação

A inclinação (ou coeficiente angular) mede quanto a reta sobe para cada unidade andada na horizontal:

m = Δy / Δx, com Δx ≠ 0

Se Δx = 0, a reta é vertical e a inclinação não existe. O ângulo θ que a reta faz com o eixo x satisfaz tg θ = m.

Equação da reta

Com a inclinação e um ponto (x₁; y₁), a reta é y - y₁ = m (x - x₁). Na forma reduzida, y = m x + n, onde n é o ponto em que a reta corta o eixo y.

A forma geral a x + b y + c = 0 vale também para retas verticais. Com A e B dados, use a = -(y₂ - y₁), b = x₂ - x₁ e c = -(a x₁ + b y₁). Essa forma tem a vantagem de funcionar sem dividir por nada.

Parâmetro t

Todo ponto da reta pode ser escrito como P = A + t (B - A). Para t entre 0 e 1, P está dentro do segmento AB; para t = 1/2, P é o ponto médio. Fora desse intervalo, P está no prolongamento da reta.

Distância de um ponto à reta

Para um ponto Q fora da reta ax + by + c = 0, a menor distância entre Q e a reta é

d(Q, r) = |a x_Q + b y_Q + c| / √(a² + b²)

Por que é a menor? Qualquer outro caminho de Q até a reta é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo cateto é a perpendicular. Como a hipotenusa é sempre maior que o cateto, a perpendicular ganha. O pé da perpendicular é o ponto da reta mais próximo de Q, e o painel o mostra em tempo real.

Aplicações

• Navegação e GPS: a distância mais curta entre um ponto e uma estrada reta é a perpendicular.
• Engenharia: inclinação de rampas, telhados e estradas é a razão entre desnível e avanço horizontal.
• Computação gráfica: a equação a x + b y + c = 0 decide de que lado de uma aresta um pixel está.

Curiosidade

As retas paralelas têm a mesma inclinação e as perpendiculares têm inclinações que se multiplicam por -1. Por isso, a reta de inclinação 2 é perpendicular à reta de inclinação -1/2: o produto é -1.