Os Elementos de Euclides: construções com régua e compasso

Os Elementos de Euclides

Por volta de 300 a.C., Euclides reuniu em Alexandria o que se sabia de geometria e aritmética e o organizou em treze livros, os Elementos. A sua contribuição não foi descobrir todos os resultados, mas apresentá-los de forma lógica: a partir de definições, postulados e noções comuns, cada teorema é provado com passos explícitos.

O método axiomático

Euclides começa com definições (um ponto é o que não tem partes) e cinco postulados. O primeiro permite traçar uma reta de um ponto a outro (e a reta é determinada pelos dois pontos). Os demais resultados são consequências desses poucos pontos de partida. Esse modo de construir o conhecimento virou o modelo da matemática moderna.

Os postulados que permitem construir figuras são os de traçar uma reta por dois pontos e de traçar uma circunferência com qualquer centro e qualquer raio. Só esses dois instrumentos: régua sem marcas e compasso. A aula segue exatamente essa regra.

Régua e compasso, passo a passo

Três construções da aula são clássicas:

1. Triângulo equilátero (Livro I, proposição 1). Com A e B marcados, trace o círculo de centro A passando por B e o de centro B passando por A. Uma das interseções, C, forma com A e B um triângulo em que AB = BC = CA. A razão é simples: C está nos dois círculos, então está à mesma distância de A e de B, que é |AB|.
2. Mediatriz de um segmento (proposição 10). Trace dois círculos de mesmo raio r, um com centro em A e outro em B. Se r for maior que |AB|/2, eles se cruzam em P e Q. No caso limite r = |AB|/2, eles só se tocam em M, e a reta não fica definida por dois pontos. A reta PQ é perpendicular a AB e passa pelo ponto médio M. Todo ponto da reta PQ está à mesma distância de A e de B.
3. Bissetriz de um ângulo (proposição 9). Com vértice B, trace um círculo que marca D sobre um lado e E sobre o outro. Depois, com centros D e E e raio DE, os círculos se cruzam em F, do lado de dentro do ângulo. A semirreta BF divide o ângulo ao meio, porque BDF e BEF são triângulos congruentes (lados iguais três a três).

Na aula, o slider de passo mostra cada circunferência surgindo. O painel mede os lados, as distâncias e os ângulos, para que você confira a construção numericamente. O raio r é ajustável, e é ele que decide se a mediatriz existe.

Conteúdo

Os livros tratam de triângulos, círculos, proporções, números primos e a construção de sólidos regulares. A proposição 47 do livro I é o teorema de Pitágoras, com uma prova geométrica que ainda é estudada hoje.

Uma obra que atravessou épocas

Os Elementos foram copiados, comentados e traduzidos por séculos, e estiveram na base do ensino de geometria no mundo ocidental. Durante muito tempo, foram um dos livros mais editados da história. A questão do quinto postulado, sobre retas paralelas, levou depois às geometrias não euclidianas.

Aplicações

• Desenho técnico e arquitetura: a mediatriz e a bissetriz são usadas para localizar centros, dividir ângulos e marcar eixos de simetria.
• Cartografia e navegação: a ideia de que a mediatriz é o lugar dos pontos equidistantes aparece na construção de regiões de proximidade.
• Ensino: o método axiomático é a base da prova matemática que ainda usamos.

Curiosidade

Os Elementos foram copiados, traduzidos e reeditados por séculos. Por séculos, estudar geometria era estudar Euclides. Você pode ver que as construções da aula seguem exatamente os passos do livro I, com as mesmas proposições.

Perguntas de revisão

1. O que caracteriza o método dos Elementos?

Resposta: partir de definições e postulados e provar tudo a partir deles. Não é usar apenas desenhos, nem começar pelo resultado final.

1. Qual teorema famoso aparece na proposição 47 do livro I?

Resposta: o teorema de Pitágoras.