Limites e continuidade

Limites e continuidade

O limite de f(x) quando x tende a a é o valor L que f(x) se aproxima quando x se aproxima de a, sem precisar que f seja definida em a. Escreve-se lim (x→a) f(x) = L. Isso é diferente de f(a): o limite depende só do comportamento perto de a.

Limites laterais

Pela direita, x se aproxima de a com valores maiores; pela esquerda, com valores menores. O limite existe quando os dois laterais são iguais e finitos. A ferramenta calcula f(a ± 10^(−k)) para k de 1 a 8 e observa a tendência. Isso é uma aproximação numérica: ela mostra o comportamento, mas não é uma demonstração.

Continuidade

f é contínua em a quando três condições valem: f(a) está definida, o limite lim (x→a) f(x) existe e os dois são iguais. Se alguma falha, há uma descontinuidade:

• removível: o limite existe, mas f(a) não está definida ou vale outra coisa. Como (x² − 1)/(x − 1) em 1, pode-se "consertar" a função definindo f(1) = 2.
• de salto: os limites laterais são finitos, mas diferentes. Como sinal(x) em 0, que vale −1 à esquerda e 1 à direita.
• infinita: um dos laterais diverge para +∞ ou −∞. Há uma assíntota vertical, como 1/(x − 2) em 2.
• oscilante: a função não tende a nenhum valor. Como sen(1/x) em 0, que oscila entre −1 e 1 cada vez mais rápido.

Definição ε-δ

Dizer que lim (x→a) f(x) = L significa: para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que, se 0 < |x − a| < δ, então |f(x) − L| < ε. Em palavras: escolha qualquer faixa horizontal de altura 2ε em torno de L; é sempre possível achar uma faixa vertical de largura 2δ em torno de a tal que o gráfico, fora de x = a, fique dentro da faixa horizontal. A ferramenta desenha as duas faixas e testa δ por uma malha de pontos e pelos valores candidatos (1, 0,5, 0,25, …). O maior δ listado é uma estimativa.

Infinito

Os limites no infinito perguntam o que acontece quando x cresce sem limite. Para 1/x, o valor vai a 0; para x, vai a +∞. A ferramenta testa x = ±10^k com k até 8.

Aplicações

Limites são a base da derivada (a taxa de variação instantânea é um limite de quocientes) e da integral. Na física, a velocidade instantânea e a densidade num ponto são limites. Em engenharia, a continuidade garante que pequenas mudanças de entrada produzam pequenas mudanças de saída: se uma função não é contínua, um sensor ou um controle pode ter saltos perigosos.