Derivada: reta tangente, secante e gráfico de f′

Derivada: a tangente como limite de secantes

A secante a uma curva é a reta que passa por dois pontos dela, (a, f(a)) e (a + h, f(a + h)). Sua inclinação é o quociente de Newton:

m_sec = (f(a + h) − f(a)) / h

Quando h fica cada vez menor, o segundo ponto se aproxima do primeiro e a secante gira até virar a reta tangente em a. A inclinação da tangente é a derivada f′(a):

f′(a) = lim (h→0) (f(a + h) − f(a)) / h

A derivada é, portanto, um limite. Por isso a ferramenta mostra a tabela com h = 10⁻¹ até 10⁻⁸, dos dois lados. Se os dois lados convergem ao mesmo número, a derivada existe.

Como ler o gráfico de f′

Cada valor de f′(x) é a inclinação de f no ponto x:

• f′ > 0: f cresce;
• f′ < 0: f decresce;
• f′ = 0: a tangente é horizontal, e pode haver um máximo ou um mínimo local ou um ponto de inflexão.

Os pontos críticos são onde f′ = 0. A classificação usa o sinal da segunda derivada: f″ < 0 indica máximo local e f″ > 0, mínimo local.

Quando a derivada não existe

A derivada exige que as inclinações dos dois lados coincidam. Pode falhar em três casos:

• quina: |x| em 0 é contínua, mas as derivadas laterais são −1 e 1;
• salto ou descontinuidade: a função nem é contínua ali;
• tangente vertical: a inclinação cresce sem limite, como √x em 0.

Continuidade é necessária para derivabilidade, mas não é suficiente.

Aplicações

A derivada mede taxa de variação: a velocidade é a derivada da posição no tempo, a aceleração é a derivada da velocidade, a taxa de crescimento de uma população e o custo marginal de produzir mais uma unidade são derivadas. Em otimização, procuram-se os pontos críticos de uma função de lucro ou de custo. Em física, as equações do movimento e do calor são equações com derivadas.