Equações diferenciais: campo de direções e trajetórias

Equações diferenciais de primeira ordem

Uma equação diferencial relaciona uma função com suas derivadas. Na forma de primeira ordem, y′ = f(x, y), a equação diz a inclinação da solução em cada ponto do plano. Não é preciso uma fórmula para entender o comportamento: o campo de direções já mostra por onde as soluções passam.

Campo de direções

Em cada ponto (x, y), desenha-se um segmento de inclinação f(x, y). Uma solução é uma curva que, em todo ponto, é tangente ao segmento daquele ponto. Por isso as trajetórias "seguem o campo". Onde f = 0, o campo é horizontal; onde o campo é vertical, a tangente é vertical. Esse desenho dá muita informação antes de qualquer conta.

Métodos numéricos

Partindo do valor inicial (x₀, y₀), avança-se com passo h:

• Euler: y_{n+1} = y_n + h·f(x_n, y_n). Usa só a inclinação no início do passo. É simples, mas o erro cresce proporcionalmente a h.
• Runge-Kutta de 4ª ordem (RK4): combina quatro inclinações dentro do passo, com pesos 1, 2, 2, 1. O erro cai com h⁴, por isso RK4 costuma ser muito mais preciso com o mesmo passo.

Com passo h, RK4 é quase sempre preferível. Euler serve para entender a ideia: o próprio método é uma aproximação linear por tangentes.

Soluções exatas conhecidas

• y′ = y: y = y₀·e^(x − x₀). Cresce exponencialmente (juros contínuos, desintegração ao contrário).
• y′ = x − y: y = x − 1 + (y₀ − x₀ + 1)·e^(x₀ − x). As trajetórias convergem para uma solução particular quando x cresce.
• y′ = −2xy: y = y₀·e^(−(x² − x₀²)), a forma da gaussiana.
• y′ = y(1 − y): equação logística, y = 1/(1 + (1/y₀ − 1)·e^(−(x − x₀))). A população tende à capacidade 1 sem ultrapassá-la.
• y′ = x: y = y₀ + (x² − x₀²)/2, a integral de x.

Trajetória e condição inicial

Cada ponto inicial determina uma única solução (sob condições de regularidade de f). Mudar o ponto inicial muda a trajetória, e as trajetórias não se cruzam. A ferramenta integra para frente e para trás a partir de (x₀, y₀), e para quando f deixa de estar definida ou a solução foge para o infinito.

Aplicações

Equações diferenciais modelam crescimento populacional (a logística), circuitos elétricos (a carga de um capacitor), resfriamento (a lei de Newton do resfriamento), decaimento radioativo, reações químicas e a dinâmica de qualquer sistema cuja taxa de variação depende do estado atual. Quase toda simulação física e de engenharia resolve equações como essa com métodos do tipo Runge-Kutta.