Vetores no plano: soma, produto escalar, área e projeção

Vetores no plano: soma, produto escalar, área e projeção

Um vetor no plano é um par de números (x; y) que descreve um deslocamento: ele tem direção, sentido e comprimento. Nesta aula, os vetores u e v partem da origem, e você os arrasta pela ponta. Todas as grandezas do painel são calculadas a partir das componentes.

O que observar

• A soma u + v é a diagonal do paralelogramo gerado por u e v, e a diferença u − v é a outra diagonal.
• O produto escalar u · v é zero quando os vetores são perpendiculares e negativo quando o ângulo entre eles é obtuso.
• O determinante u × v = ux·vy − uy·vx é a área orientada do paralelogramo. Ele é zero quando u e v são paralelos e negativo quando v está no sentido horário a partir de u.
• A projeção de v sobre u é a parte de v que aponta na direção de u. A componente perpendicular é o restante, e as duas somam v.
• A combinação a·u + b·v cobre todo o plano quando u e v não são paralelos.

Fórmulas

• Norma: |u| = √(ux² + uy²).
• Produto escalar: u · v = ux·vx + uy·vy = |u| |v| cos θ.
• Determinante: u × v = ux·vy − uy·vx = |u| |v| sen θ, com sinal.
• Ângulo: θ = atan2(|u × v|, u · v). Usar atan2 em vez de arccos evita perda de precisão perto de 0° e de 180°.
• Projeção de v sobre u: proj = ((u · v) / |u|²) u.
• Área do triângulo com lados u e v: |u × v| / 2.

Por que é verdade

Escreva u = (ux; uy) e v = (vx; vy). Pela lei dos cossenos aplicada ao triângulo formado por u, v e u − v, obtemos |u − v|² = |u|² + |v|² − 2 |u| |v| cos θ. Desenvolvendo a esquerda em componentes, o termo cruzado vira −2 (ux vx + uy vy), e isso dá u · v = |u| |v| cos θ.

Para a área, o paralelogramo de lados u e v tem base |u| e altura |v| sen θ. Então a área é |u| |v| sen θ = |ux vy − uy vx|. A expressão com sinal ux vy − uy vx é o determinante da matriz formada pelas colunas u e v, e o sinal indica se v está à esquerda ou à direita de u.

Com a projeção, a componente perpendicular é v − proj, e ela é ortogonal a u porque o produto escalar entre elas é (u · v) − (u · v) = 0.

Aplicações

• Física: força, velocidade e campo são vetores. O trabalho de uma força é o produto escalar entre força e deslocamento, e o torque no plano é o determinante.
• Computação gráfica: o produto escalar calcula iluminação (ângulo entre a normal da superfície e a direção da luz), e o determinante decide se um triângulo está virado para a câmera.
• Álgebra linear: o determinante de uma matriz 2x2 é a área do paralelogramo das colunas. Essa interpretação é a base para entender a transformação de áreas por matrizes (ver Transformações do plano).
• Decomposição em componentes: projetar um vetor sobre dois eixos perpendiculares é a forma mais simples de separar movimentos independentes.

Curiosidade

O produto escalar foi formalizado no século XIX, junto com a noção de vetor, por autores como Josiah Willard Gibbs e Oliver Heaviside, que organizaram a notação vetorial usada até hoje. Antes disso, a mesma informação era escrita com quaterniões, criados por William Rowan Hamilton em 1843, em que a parte escalar e a parte vetorial do produto de dois vetores aparecem separadas. O produto vetorial tridimensional, que também usa a ideia de área orientada, vem dessa mesma tradição.