Vetores no espaço: produtos, projeção e planos

Vetores no espaço

Um vetor em três dimensões é uma terna (x, y, z): uma seta a partir da origem. Gire a cena com o mouse ou com as setas do teclado para enxergar as posições relativas. Os controles de cada coordenada aceitam número digitado ou slider.

Produto escalar

u · v = ux·vx + uy·vy + uz·vz = |u|·|v|·cos θ

É um número, não um vetor. Se u · v = 0, os vetores são perpendiculares. O ângulo vem de cos θ = (u·v) / (|u|·|v|). A projeção de u sobre v é o vetor ((u·v)/|v|²)·v: a sombra de u sobre a direção de v. O componente escalar (u·v)/|v| dá o comprimento dessa sombra, com sinal.

Produto vetorial

u × v é um vetor perpendicular aos dois, com módulo |u|·|v|·sen θ, que é a área do paralelogramo que eles formam. Seu sentido segue a regra da mão direita. Trocar a ordem inverte o sinal: u × v = −(v × u).

Produto misto e volume

u · (v × w) é o volume, com sinal, do paralelepípedo gerado por u, v e w. Se o valor é zero, os três vetores são coplanares (estão no mesmo plano).

Plano definido por três pontos

Para os pontos A, B e C não alinhados, o vetor n = (B − A) × (C − A) é normal ao plano. A equação é n·X = n·A, ou seja, a·x + b·y + c·z = d. Se os três pontos estão alinhados, n = 0 e não há plano único: a aula avisa isso.

A área do triângulo ABC é |n| / 2.

Distância de um ponto ao plano

A distância de P ao plano é |n·P − d| / |n|. O pé da perpendicular é o ponto do plano mais próximo de P, obtido subtraindo de P o vetor normal com o tamanho certo. A aula mostra a distância com sinal: positiva do lado para onde a normal aponta.

Nos predefinidos, o ponto P é colocado sobre o plano ABC (distância zero) e os vetores são preparados para serem coplanares ou perpendiculares.