Trigonometria no círculo unitário

Trigonometria no círculo unitário

Considere o círculo de raio 1 centrado na origem. Um ponto P dele, a partir do eixo x e girando no sentido anti-horário por um ângulo θ, tem coordenadas P = (cos θ, sen θ). Essa definição vale para qualquer ângulo, inclusive negativos e maiores que uma volta, e é por isso que o círculo unitário é a base de toda a trigonometria.

As funções como segmentos

• cos θ é a coordenada x de P: a projeção de P sobre o eixo horizontal.
• sen θ é a coordenada y de P: a projeção sobre o eixo vertical.
• tan θ = sen θ / cos θ é a altura, na reta tangente ao círculo no ponto (1, 0), onde o raio que passa por P encontra essa tangente. Quando cos θ = 0 o raio é vertical, não encontra a tangente, e tan θ não existe.

Por isso tan é indefinida em 90°, 270° e seus múltiplos: o segmento tangente vai para o infinito.

Graus e radianos

O ângulo completo tem 360° ou 2π radianos. A conversão é θ_rad = θ_graus · π / 180. Radianos são a medida natural porque o comprimento de um arco de círculo unitário é o próprio ângulo: um arco de π/3 mede π/3. A ferramenta mostra as duas unidades, com frações de π quando possível (π/4, 2π/3).

Quadrante e ângulo de referência

Os quadrantes dividem o plano: no primeiro, sen e cos são positivos; no segundo, só sen; no terceiro, só tan; no quarto, só cos. O ângulo de referência é o agudo que o raio faz com o eixo x. Os valores de sen e cos em qualquer ângulo são os de sua referência, com o sinal do quadrante. Por exemplo, sen(150°) = sen(30°) = 1/2, porque 150° está no segundo quadrante.

Identidades fundamentais

• sen²θ + cos²θ = 1: é o teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo de vértices O, P e (cos θ, 0).
• tan θ = sen θ / cos θ: a razão entre as coordenadas.
• sen 2θ = 2 sen θ cos θ e cos 2θ = cos²θ − sen²θ: fórmulas do arco duplo.
• sen(θ + π/2) = cos θ: deslocar 90° transforma seno em cosseno. O gráfico de cos é o de sen deslocado π/2 para a esquerda.

A ferramenta verifica cada identidade no ângulo atual. Quando um lado é indefinido, a verificação mostra "indefinida neste ângulo", e não um número inválido.

Aplicações

A trigonometria mede alturas e distâncias (um topógrafo mede um ângulo e a distância até a base), descreve ondas sonoras e de luz, modela ciclos como as marés e as estações do ano e é a base da rotação em gráficos de computador e jogos.