Famílias básicas: linear, quadrática, exponencial, logaritmo e seno

Famílias básicas de funções

Uma família de funções é um conjunto de funções com a mesma forma, em que os parâmetros mudam a posição e o formato do gráfico. Conhecer a forma de cada família permite prever o gráfico antes de desenhá-lo.

Linear: y = m·x + n

A reta tem inclinação m (quanto y muda quando x cresce 1) e intercepto n (o valor de y em x = 0). Seu zero é x = −n/m, quando m ≠ 0. O domínio é sempre ℝ. A imagem é ℝ, exceto quando m = 0: a reta vira horizontal e a imagem é só {n}.

Quadrática: y = a·x² + b·x + c

A parábola tem vértice em x_v = −b/(2a) e y_v = c − b²/(4a). O sinal de a diz se ela abre para cima (a > 0, vértice é mínimo) ou para baixo (a < 0, vértice é máximo). Com a = 0 a função deixa de ser quadrática.

O discriminante é Δ = b² − 4ac. Ele diz quantas raízes reais existem:

• Δ > 0: duas raízes, x = (−b ± √Δ)/(2a);
• Δ = 0: uma raiz dupla, x = −b/(2a), e o vértice está sobre o eixo x;
• Δ < 0: nenhuma raiz real; a parábola não toca o eixo x.

Exponencial: y = a·base^x

Com base > 1 a função cresce; com 0 < base < 1 ela decai. A função nunca vale zero (se a ≠ 0): o eixo x é uma assíntota horizontal, e a imagem é (0; +∞) para a > 0 ou (−∞; 0) para a < 0. O intercepto em y é o próprio a, pois base⁰ = 1.

Logaritmo: y = a·log_base(x)

O logaritmo é a inversa da exponencial. Seu domínio são os reais positivos, x > 0, porque nenhuma potência positiva dá zero ou número negativo. A reta x = 0 é assíntota vertical. O zero é x = 1, pois log_base(1) = 0 para qualquer base. A base precisa ser positiva e diferente de 1.

Senoidal: y = a·sen(b·x + c) + d

• a é a amplitude (com |a|): a imagem é [d − |a|; d + |a|].
• b define o período 2π/|b|: quanto maior |b|, mais rápida a oscilação.
• c desloca a onda horizontalmente (fase) em −c/b.
• d desloca a onda verticalmente, e é o centro da oscilação.

Se b = 0, o seno vira constante e não há período.

Por que estudar as famílias

Modelos reais usam essas formas: a linear para custo com preço fixo mais unitário, a quadrática para trajetórias e áreas máximas, a exponencial para juros compostos e crescimento populacional, o logaritmo para escalas como decibéis e pH, e o seno para ondas, marés e ciclos. Reconhecer a família pelo formato é o primeiro passo para escolher um modelo.