Gráficos múltiplos: funções, curvas paramétricas e polares

Gráficos múltiplos

Esta ferramenta desenha até oito curvas no mesmo plano cartesiano. Cada curva pode ser de um de quatro tipos, e todas compartilham os mesmos parâmetros (a, b, k, r...), que aparecem como sliders automáticos.

Os quatro tipos de curva

• y = f(x): para cada valor de x, uma única altura y. É o gráfico de função clássico, como y = x² - 2.
• Paramétrica (x(t), y(t)): x e y dependem de um parâmetro t, percorrido de "Início" a "Fim". Assim é possível desenhar curvas que não são gráficos de função, como o círculo (cos t, sen t). Cada valor de t é um instante de um movimento.
• Polar r = r(θ): a distância à origem r depende do ângulo θ, em radianos. Para converter em coordenadas comuns, x = r·cos θ e y = r·sen θ. A cardioide r = a(1 + cos θ) e a rosa r = a·cos(kθ) são exemplos.
• Implícita f(x, y) = 0: a curva é o conjunto dos pontos que zeram f. Um círculo de raio r é x² + y² - r² = 0. Como não há uma fórmula para y em função de x, o gráfico é calculado por marching squares: uma grade de pontos é avaliada e, em cada célula onde f troca de sinal, a curva passa por ali.

Interseções

Um ponto de interseção é um ponto que pertence a duas curvas. No gráfico, as interseções são calculadas entre os segmentos desenhados de cada par de curvas. Se duas curvas apenas se tocam (tangência), a aproximação pode marcar dois pontos muito próximos ou nenhum; isso é limitação numérica da malha de desenho, não uma propriedade da curva. Para achar as interseções de f(x) = g(x) com precisão, reescreva como f(x) - g(x) = 0: os pontos de interseção são as raízes de f - g, que é exatamente o que a aula de gráfico de funções encontra com o método da bisseção.

Parâmetros

Qualquer letra livre nas expressões (a, b, r, k, d) vira um slider automático com faixa de -5 a 5. A mesma letra em curvas diferentes é o mesmo parâmetro, então mudar a em uma curva muda a em todas. As variáveis independentes são fixas: x nas funções e implícitas, t nas paramétricas, θ (escrito th) nas polares.

Aplicações

Curvas paramétricas descrevem trajetórias de objetos, como uma bola lançada (x = v·t·cos α, y = h + v·t·sen α - g·t²/2). Curvas de Lissajous aparecem em osciloscópios e na análise de vibrações, onde a razão entre as frequências define a figura. Coordenadas polares aparecem em antenas, radares e órbitas. Curvas implícitas modelam superfícies de nível, como curvas de temperatura em mapas.

Dica: a exportação em PNG salva exatamente a figura da tela, com a cor e o enquadramento atuais.