Números complexos e o i

Números complexos e o i

Nenhum número real, elevado ao quadrado, dá um resultado negativo. Por isso a equação x² + 1 = 0 não tem solução entre os reais. Durante séculos isso foi visto como um beco sem saída, até que matemáticos perceberam que criar um novo símbolo podia abrir uma porta.

Um símbolo novo

Girolamo Cardano, no século XVI, já escrevia raízes de números negativos ao resolver equações cúbicas, e chamava essas expressões de "sofísticas". Mais tarde, Euler passou a usar a letra i para representar a unidade imaginária, com a propriedade i² = −1.

Um número complexo tem a forma a + bi, em que a e b são reais. Assim, 3 + 2i é um complexo, e 5 é o caso especial em que b é zero. A soma é feita parte a parte: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. O produto usa i² = −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Um plano em vez de uma reta

A grande mudança é geométrica. Cada complexo a + bi vira um ponto do plano, com a no eixo horizontal e b no vertical. Esse é o plano de Argand. Multiplicar por i equivale a girar 90 graus em torno da origem, o que mostra que o "imaginário" tem uma forma bem concreta.

Na aula, z e w são vetores do plano. Arraste-os e observe:

• Soma: z + w é a diagonal do paralelogramo construído sobre z e w.
• Produto: o módulo de z · w é |z| · |w|, e o argumento é a soma dos argumentos. Por isso multiplicar por um complexo de módulo 1 é uma rotação.
• Módulo e argumento: |z| é a distância até a origem, e arg z é o ângulo com o eixo real. Em forma polar, z = r(cos θ + i sen θ).

Potências e raízes

A forma polar torna as potências simples. Pela fórmula de De Moivre, zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ): o módulo é elevado a n e o ângulo é multiplicado por n. Assim, as potências de z se espalham sobre um círculo.

O caminho inverso são as raízes. Um complexo não nulo tem exatamente n raízes n-ésimas, todas com módulo r^(1/n) e igualmente espaçadas em torno do círculo, com ângulos (θ + 2πk)/n. Por exemplo, as raízes cúbicas de 1 são 1 e dois complexos que formam, com ele, um triângulo equilátero no círculo unitário. A aula desenha essas raízes para qualquer z e qualquer índice k.

O caso z = 0 é degenerado: o módulo é zero, o argumento não existe, e a única raiz é zero.

Por que isso importa

• Eletricidade: em corrente alternada, tensões e correntes são fasores, números complexos que giram. Somar fasores é somar tensões.
• Sinais: a transformada de Fourier decompõe um sinal em componentes complexas de frequências diferentes.
• Fractais: o conjunto de Mandelbrot vive no plano complexo: um ponto c pertence a ele se a sequência z ↦ z² + c não escapa.
• Física quântica: as amplitudes de probabilidade são complexas, e a interferência é a soma delas.

Curiosidade

O termo "número complexo" foi proposto por Gauss em 1831. Antes dele, havia nomes como "imaginário", que ainda hoje confundem os alunos: a parte imaginária é tão real quanto a parte real. O plano de Argand recebeu esse nome porque o matemático amador Jean-Robert Argand publicou a ideia em 1806, e Caspar Wessel já a tinha descrito em 1797.

Perguntas de revisão

1. Quanto vale i² na aritmética dos complexos?

Resposta: −1.

1. Geometricamente, o que faz a multiplicação por i?

Resposta: gira o ponto 90 graus em torno da origem. Não dobra o módulo nem espelha o ponto.