O número e: juros, área e série

O número e

O número e vale cerca de 2,71828 e é, ao lado de π, uma das constantes mais importantes da matemática. Ele aparece sempre que algo cresce a uma taxa proporcional ao próprio tamanho, como juros compostos, populações ou a desintegração de átomos.

Juros que se compõem

Imagine uma dívida de 1 real que rende 100% ao ano. Se os juros forem pagos só no fim do ano, o total será 2 reais. Se forem divididos em dois semestres de 50%, o total vira 2,25. Em quatro trimestres de 25%, 2,44. Quanto mais vezes os juros são compostos, mais o total se aproxima de um limite: e.

Jacob Bernoulli chegou a esse limite no fim do século XVII ao estudar exatamente esse problema. A expressão é (1 + 1/n)ⁿ, com n crescendo sem parar. Com uma taxa r qualquer, o limite de (1 + r/n)ⁿ é eʳ. Na aula, o slider de taxa mostra isso: com r = 1, o montante converge a e; com r = 2, converge a e².

O crescimento natural

A função exponencial eˣ tem uma propriedade especial: a taxa de variação dela em cada ponto é igual ao próprio valor da função. Por isso ela descreve crescimento contínuo com tanta naturalidade. Leonhard Euler foi quem popularizou a letra e para essa constante, por volta de 1727.

A área sob 1/t

Outra forma de encontrar e é pela área sob a hipérbole y = 1/t. A área entre t = 1 e t = x é ln x, o logaritmo natural. Essa área vale exatamente 1 quando x = e. Por isso o logaritmo natural tem base e.

Na aula, a região sombreada muda com x. Quando x chega a e, a área fica igual a 1. Quando x < 1, a área é negativa, e para x ≤ 0 nada existe, porque 1/t não é integrável ali.

A série de Taylor

O número e também é a soma da série 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + … = Σ 1/k!. Essa série é o polinômio de Taylor de eˣ avaliado em x = 1: Σ xᵏ/k! para k de 0 a m. Perto de zero, o polinômio copia a função cada vez melhor conforme o grau aumenta. A aula compara os dois gráficos. Com grau 3, o polinômio acompanha eˣ bem perto de zero, mas diverge para x grande.

Aplicações

• Finanças: o juro contínuo, usado em avaliação de opções e de títulos, é exatamente o limite (1 + r/n)ⁿ.
• Biologia e epidemiologia: o crescimento inicial de populações e de infecções é modelado por eˣ.
• Física: o decaimento radioativo e a descarga de capacitores seguem exponenciais.
• Computação: o logaritmo natural aparece na análise de algoritmos e em aprendizado de máquina.

Curiosidade

A letra e foi popularizada por Euler, e a origem exata dessa escolha não é documentada com certeza. O número e é irracional e transcendental, como π.

Perguntas de revisão

1. O que o limite (1 + 1/n)ⁿ, com n crescendo, representa?

Resposta: o crescimento de juros compostos de forma contínua, que converge para e.

1. Qual propriedade torna a função eˣ especial?

Resposta: a taxa de variação em cada ponto é igual ao próprio valor da função.