Matriz como transformação do plano

Matriz como transformação do plano

Uma matriz 2×2 é uma regra que leva cada ponto (x, y) a um novo ponto:

(x', y') = (a·x + b·y, c·x + d·y)

Ela é linear: retas continuam retas, a origem fica fixa e o paralelismo é preservado. Por isso basta descobrir o que acontece com os vetores base e₁ e e₂: a coluna 1 da matriz é a imagem de e₁ = (1, 0), e a coluna 2 é a imagem de e₂ = (0, 1). Todo o resto segue por combinação linear.

O que observar

• A grade cinza é o plano original; a grade cinza-escuro é a mesma grade depois da transformação.
• A figura tracejada é o "L" original, de área 4. A figura colorida é a imagem dela pela matriz A.
• As setas mostram onde caem e₁ e e₂. As colunas de A são exatamente essas posições.

Determinante: o fator de área

Para qualquer figura, a área da imagem é |det A| vezes a área original. No "L", a área transformada é |det A| · 4, e o painel confere isso.

• det A > 0: a orientação é preservada (rotação, cisalhamento, escala positiva).
• det A < 0: a orientação se inverte, como num espelho (reflexões).
• det A = 0: a figura é achatada sobre uma reta ou um ponto. Nesse caso a matriz é singular: não tem inversa, porque duas direções diferentes caem na mesma. A aula mostra essa situação com uma mensagem, não com erro.

Traço

O traço é a soma da diagonal principal, a + d. Ele não tem significado geométrico tão direto quanto o determinante, mas aparece junto aos autovalores, na aula de autovalores e autovetores.

Composição A·B

Aplicar B e depois A equivale à matriz A·B. Com a caixa marcada, a figura tracejada colorida mostra essa composição. Note que, em geral, A·B ≠ B·A: a ordem importa. Os determinantes, porém, sempre satisfazem det(A·B) = det A · det B.

Predefinições

• Rotação de θ: [[cos θ, −sen θ], [sen θ, cos θ]]. Preserva comprimentos e ângulos, det = 1.
• Reflexão na reta de ângulo θ: [[cos 2θ, sen 2θ], [sen 2θ, −cos 2θ]]. det = −1.
• Cisalhamento: [[1, k], [0, 1]] inclina a figura sem mudar a altura. det = 1.
• Escala: [[sx, 0], [0, sy]] estica cada eixo. det = sx · sy.
• Projeção sobre uma reta: singular, det = 0. Joga todos os pontos sobre a reta.

Use o campo digitável ou o slider de cada entrada: a matriz muda em tempo real, e o link na URL reabre exatamente a mesma transformação.