Autovalores e autovetores

Autovalores e autovetores

Na maior parte das vezes, uma matriz A gira e distorce todas as direções do plano. Mas algumas direções são especiais: um vetor v não nulo é um autovetor de A quando

A·v = λ·v

Ou seja, A só estica (ou inverte, ou contrai) v, sem mudar a reta que ele define. O número λ é o autovalor correspondente. As retas desenhadas no gráfico são exatamente essas direções invariantes.

Como encontrar

A equação A·v = λ·v vira (A − λI)·v = 0. Um vetor não nulo nessa equação existe só quando det(A − λI) = 0. Para 2×2, isso dá o polinômio característico:

λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0

Por isso tr(A) = λ₁ + λ₂ e det(A) = λ₁·λ₂. O painel confere essas identidades a cada movimento.

• Discriminante positivo: dois autovalores reais distintos, com duas retas invariantes.
• Discriminante zero: um autovalor repetido. Pode haver uma reta só (matriz defeituosa, como o cisalhamento) ou o plano inteiro (matriz da forma λ·I).
• Discriminante negativo: não há autovalor real. A rotação de 90° é o exemplo: nenhuma direção real fica invariante.

Diagonalização

Se há uma base de autovetores (P com colunas v₁ e v₂), então

A = P·D·P⁻¹, com D = diag(λ₁, λ₂)

Nessa base, a matriz vira diagonal: cada eixo é só esticado. A potência fica simples: A^n = P·D^n·P⁻¹. Quando não há base de autovetores (caso defeituoso), essa fatoração não existe.

O que a aula mostra

• As retas tracejadas são os autoespaços. Vermelho-alaranjado indica autovalor negativo: a direção é invertida.
• O ponto P pode ser arrastado. Os pontos A·P, A²·P, …, Aⁿ·P aparecem com o slider n. Quando |λ| > 1 numa direção, os pontos se afastam ao longo dela; quando |λ| < 1, convergem para a origem.
• O painel mostra as coordenadas de Aⁿ·P e o comprimento, para comparar o crescimento.

Experimente a matriz [[2, 1], [1, 2]] com n = 10: a sequência se alinha com a reta de autovalor 3, que é o autovalor dominante.