Estimando π ao acaso (Monte Carlo)

Estimando π ao acaso (Monte Carlo)

Jogue pontos ao acaso dentro de um quadrado de lado 1. Um quarto de círculo de raio 1, com centro no canto, cabe dentro dele e tem área π/4. Um ponto (x, y) cai dentro do quarto de círculo quando x² + y² ≤ 1. A fração de pontos que caem ali, multiplicada por 4, é uma estimativa de π.

Esse método é chamado de Monte Carlo: usa sorteios para resolver um problema que, em princípio, não é aleatório. O nome vem do cassino de Mônaco e foi sugerido por Stanisław Ulam e Nicholas Metropolis, em meados da década de 1940, quando trabalhavam em simulações de nêutrons.

O que a aula mostra

• Pontos: uma cor quando caem dentro do quarto de círculo e outra quando caem fora. A cada ponto novo, a figura fica um pouco mais densa.
• Estimativa: 4 × (dentro ÷ total). Os números no painel são da mesma amostra da figura.
• Semente: a sequência de pontos é gerada por um gerador pseudoaleatório. A mesma semente produz a mesma amostra, por isso o link desta configuração reabre o mesmo resultado. "Nova amostra" troca a semente.
• Erro e gráfico: o gráfico mostra |estimativa − π| em escala logarítmica para 10, 20, 50, 100… pontos. A linha tracejada é 1/√n, com a constante correta.

Por que o erro cai tão devagar?

Cada ponto é uma moeda viciada: cai dentro com probabilidade p = π/4 ≈ 0,785. Com n pontos, a contagem de acertos tem desvio padrão √(n · p(1 − p)), e a estimativa 4p̂ tem erro padrão 4 · √(p(1 − p) ÷ n) ≈ 1,64 ÷ √n.

Isso tem uma consequência prática. Para reduzir o erro típico em 10 vezes, é preciso aumentar a amostra em 100 vezes. Ganhar uma casa decimal exige cem vezes mais pontos. Por isso o Monte Carlo é usado quando não há método melhor, como em integrais de muitas dimensões, em que a grade tradicional seria cara demais.

A lei dos grandes números

A estimativa converge porque a média de variáveis independentes, com a mesma distribuição, tende ao valor esperado quando o número de amostras cresce. Aqui, cada ponto vale 1 (dentro) ou 0 (fora), e o valor esperado da média é p = π/4.

Aplicações

• Física: transporte de nêutrons e de fótons, em reatores e em imagens médicas.
• Finanças: preço de opções e risco de carteiras, simulando milhares de cenários de mercado.
• Engenharia: confiabilidade de sistemas, em que a falha de cada componente é sorteada.
• Computação gráfica: iluminação global, em que caminhos de luz são sorteados e médias são tiradas.

Curiosidades

• Buffon, em 1777, propôs estimar π jogando uma agulha sobre um assoalho de tábuas paralelas. A probabilidade de a agulha cruzar uma linha depende de π, e esse é um ancestral direto do método.
• Em 1901, Mario Lazzarini afirmou ter obtido π com 355/113 jogando uma agulha, mas o resultado é suspeito e pouco confiável. Hoje sabemos que 355/113 vale cerca de 3,14159292, uma aproximação excelente, obtida por métodos determinísticos.
• Os algoritmos atuais de π usam séries rápidas, não sorteios: sorteios servem para problemas em que não há fórmula.