A lei dos grandes números

A lei dos grandes números

Lance uma moeda justa dez vezes: é comum sair 7 caras e 3 coroas, ou só 4 caras. Mas lance a mesma moeda mil vezes e a proporção de caras quase certamente estará perto de metade. Essa regularidade é o que a lei dos grandes números descreve.

O enunciado

Jacob Bernoulli publicou a primeira versão dessa lei em 1713, no livro Ars Conjectandi. Em termos simples: à medida que o número de observações independentes cresce, a média delas se aproxima do valor esperado. Não há garantia para uma sequência curta, mas o caminho converge.

Na forma usada hoje, a lei diz que, para qualquer margem de erro ε > 0, a probabilidade de a proporção de caras diferir de p por mais de ε tende a zero quando o número de lances tende ao infinito.

Como medir o erro

Para n lances de uma moeda com probabilidade p de cara, a proporção tem desvio padrão √(p(1 − p)/n). Isso significa que a largura típica do erro cai com a raiz de n: para reduzir o erro pela metade, é preciso quatro vezes mais lances. A aula desenha a banda de dois desvios padrão, p ± 2√(p(1 − p)/n), e a proporção acumulada deve sair dela só raramente.

Essa banda é o principal valor do experimento. Com 10 lances ela é larga, e a proporção pode ficar bem longe de p. Com 2000 lances ela é estreita, e a curva quase não consegue sair dela.

O que ela não diz

A lei não diz que uma sequência de resultados deve se "compensar". Se a moeda deu cinco caras seguidas, a próxima jogada continua com 50% de chance de dar coroa. A proporção se aproxima de metade porque o peso de cada novo lance diminui em relação ao total, não porque a moeda "deve" algo.

Essa confusão tem nome: a falácia do apostador. Cassinos e loterias contam com ela para atrair jogadores que acreditam em sequências que vão "virar". A aula mede isso: depois de 5 caras seguidas, a fração de caras no lance seguinte fica perto de p, e não muda com a sequência.

Por que importa

A lei sustenta pesquisas de opinião, controle de qualidade industrial e grande parte da estatística moderna. Uma amostra grande fornece uma estimativa confiável da população, justamente pela regularidade que a lei descreve.

Também explica por que casinos ganham no longo prazo: cada aposta tem uma pequena vantagem, e a média de muitas apostas converge para o lucro esperado, mesmo que cada jogador possa ganhar ou perder muito em uma noite.

Aplicações

• Pesquisas eleitorais: o erro de uma amostra de 1000 pessoas é da ordem de 3 pontos percentuais, que é a margem divulgada.
• Seguros: a média de muitos sinistros independentes é previsível, e é isso que torna o negócio viável.
• Controle de qualidade: a fração de peças defeituosas em um lote grande se aproxima da taxa de defeito do processo.

Curiosidade

Galton observou, em 1907, que a mediana de muitos palpites sobre o peso de um boi numa feira ficou a menos de 1% do peso real, mais precisa que a maioria dos palpites individuais. É um caso famoso da sabedoria da multidão, que depende da mesma regularidade. Bernoulli trabalhou na prova por cerca de vinte anos, e a publicou só em 1713, depois de sua morte.

Perguntas de revisão

1. O que a lei dos grandes números garante?

Resposta: que a média de muitas observações independentes se aproxima do valor esperado. Não garante que uma sequência curta reflita a probabilidade exata, nem que a moeda compense resultados passados.

1. Depois de cinco caras seguidas, qual a chance de a próxima jogada dar coroa?

Resposta: 50%, se a moeda é justa. A sequência anterior não muda a probabilidade.