Floco de Koch: área finita, perímetro infinito

Floco de Koch: área finita, perímetro infinito

Comece com um triângulo equilátero de lado L. Em cada passo, troque o terço do meio de cada lado por um dente triangular para fora, com lados iguais a um terço do lado anterior. Repetindo o processo, a curva ganha mais dentes a cada nível, e o contorno vai ficando cada vez mais recortado.

Em 1904, Helge von Koch descreveu essa curva. Ela é contínua em toda parte, mas não tem tangente em ponto nenhum: em qualquer escala que você olhe, a curva continua irregular.

Perímetro e área

Cada nível troca cada segmento por quatro segmentos de um terço do tamanho. Então:

• número de segmentos: 3 · 4ⁿ
• comprimento de cada segmento: L ÷ 3ⁿ
• perímetro: 3L · (4/3)ⁿ, que cresce por 4/3 a cada nível e não tem limite
• área: a área do triângulo inicial vezes (1 + (3/5)(1 − (4/9)ⁿ)), que converge para 8/5 da área inicial

Por que a área converge? Cada nível acrescenta um dente em cada segmento do nível anterior. Há 4 vezes mais segmentos, e cada dente novo tem área 9 vezes menor. Assim, a área acrescentada em cada nível fica multiplicada por 4/9, e a soma dessas áreas é uma série geométrica de razão 4/9, com soma finita. O perímetro cresce porque cada passo multiplica o número de lados por 4 e o tamanho por 1/3, e 4/3 é maior que 1.

Dimensão fractal

Uma reta tem dimensão 1 e um plano tem dimensão 2. O floco tem uma dimensão intermediária. Se a figura é formada por N cópias de si mesma, cada uma reduzida por um fator k, a dimensão de semelhança é:

D = ln N ÷ ln k

Para o floco de Koch, cada parte é reduzida por 3 e são 4 partes: D = ln 4 ÷ ln 3 ≈ 1,2619. A aula calcula essa dimensão para qualquer N e k; por exemplo, N = 2 e k = 2 dão D = 1, a reta dividida ao meio, e N = 4 e k = 2 dão D = 2, o quadrado.

Aplicações

• Costas e fronteiras: o comprimento de uma costa depende da régua usada para medi-la. Uma régua menor capta mais recortes e dá um comprimento maior. Esse é o paradoxo estudado por Lewis Fry Richardson e popularizado por Mandelbrot.
• Antenas fractais: formas parecidas com a de Koch aumentam o comprimento elétrico em pouco espaço, o que ajuda em antenas compactas.
• Modelos de superfícies: textura e rugosidade de materiais são descritas por dimensões fractais.

Curiosidades

• No início do século XX, curvas como esta eram chamadas de "patológicas", por contrariarem a intuição sobre curvas. Hoje o floco aparece em livros de ensino como exemplo clássico de fractal.
• A área limite, 8/5 da área do triângulo inicial, é um número exato. O perímetro, por outro lado, não tem valor finito.
• Na prática não existe nível infinito: o desenho é sempre um estágio finito. A aula limita o nível a 7 para não travar o navegador.