A invenção do zero: posição, vazio e divisão

A invenção do zero: posição, vazio e divisão

Hoje o zero parece óbvio, mas durante a maior parte da história humana contar sem ele era perfeitamente possível. Os romanos usavam números sem zero, e um sistema posicional precisa de algo para marcar uma casa vazia. Sem esse símbolo, 205 e 25 ficariam parecidos demais na escrita.

Da ausência ao número

No período tardio da Babilônia, por volta do século III a.C. (a datação exata das tabuinhas varia), os babilônios já usavam um sinal para marcar casas vazias em seus números sexagesimais. Porém, ele não era tratado como número: não se somava nem se multiplicava com ele, era só um espaço indicado na escrita.

O salto veio na Índia. No século VII, o matemático Brahmagupta escreveu regras para operar com zero, como "zero menos zero é zero" e "um número somado ao zero continua igual". Pela primeira vez o zero era tratado como um número de verdade, com comportamento próprio.

Por que o zero muda tudo

Com um símbolo para o vazio, o sistema posicional funciona: o mesmo dígito vale diferente conforme a posição. Na aula, o ábaco mostra isso: cada haste é uma potência da base, e cada conta vale o que a haste indica. Uma haste vazia (∅) é o zero. A representação de N na base b é a soma dos dígitos vezes as potências de b, e a aula confere essa soma no painel.

Isso torna as contas escritas muito mais simples que em sistemas como o romano, e permitiu a aritmética que usamos até hoje. O mesmo método funciona em qualquer base de 2 a 16: a binária dos computadores, a hexadecimal usada em programação, e a decimal do cotidiano.

Romanos: o que faltava

Os numerais romanos são aditivos e subtrativos, mas não têm casa vazia. O número 205 se escreve CCV, e 25 se escreve XXV. O painel mostra a conversão para qualquer número até 3999. Para zero, a resposta é nenhuma: não há numeral romano para zero.

O zero na divisão

Com o zero como número, surge a pergunta: quanto é x dividido por zero? A aula mostra 1/x para x se aproximando de zero. Pela direita, 1/x cresce sem limite; pela esquerda, decresce sem limite. Como os dois lados não concordam, não existe limite bilateral em zero, e a expressão 1/0 não tem valor. Por isso dividir por zero é proibido na aritmética comum, e não uma convenção arbitrária.

Essa é a razão de a função 1/x ter uma assíntota vertical em x = 0. Em x = 0, a função 1/x não tem valor, e o gráfico se aproxima de uma assíntota vertical, não de um buraco que se possa preencher.

Aplicações

• Computação: a representação binária e a hexadecimal são sistemas posicionais, e o zero é o bit que vale 0.
• Finanças: saldos e taxas são números com zero; uma conta que zera não é o mesmo que não ter conta.
• Cálculo: o zero é o ponto de referência de limites e derivadas, e o cuidado com divisão por zero evita erros nas fórmulas.

Curiosidade

O símbolo 0 é usado em textos indianos desde o século IX, e a palavra "zero" vem do italiano zefiro, derivado do árabe sifr, que deu também "cifra". Ou seja, a palavra para o vazio é a mesma que deu nome a todo código secreto.

Perguntas de revisão

1. Qual matemático indiano escreveu regras para operar com o zero no século VII?

Resposta: Brahmagupta.

1. Por que um sistema posicional precisa de um símbolo para o zero?

Resposta: para marcar uma casa vazia, como em 205 e 25.