Sistemas lineares: retas, planos e eliminação de Gauss
Resolva sistemas 2×2 e 3×3, veja as equações como retas no plano ou planos no espaço e acompanhe a eliminação de Gauss passo a passo, com solução única, infinita ou nenhuma.
Sistemas lineares: retas, planos e eliminação de Gauss
Um sistema linear reúne equações do primeiro grau nas mesmas incógnitas. Em forma matricial, é A·x = b, em que A guarda os coeficientes, x as incógnitas e b os termos independentes.
Três destinos possíveis
- Solução única: as retas (ou planos) se cruzam em um único ponto. Acontece quando A tem posto igual ao número de incógnitas.
- Infinitas soluções: as equações são dependentes. Há variáveis livres, e as demais dependem delas. Geometricamente, duas retas coincidem, ou três planos se cortam ao longo de uma reta.
- Nenhuma solução: as equações se contradizem. Duas retas paralelas e distintas, ou planos que não têm ponto comum a todos.
A classificação usa o posto (rank): compare o posto de A com o posto da matriz aumentada [A | b].
- posto(A) < posto([A | b]): nenhuma solução.
- posto(A) = posto([A | b]) = número de incógnitas: solução única.
- posto(A) = posto([A | b]) < número de incógnitas: infinitas soluções.
Interpretação geométrica
No plano (2×2), cada equação a·x + b·y = e é uma reta. Duas retas não paralelas se cortam em um ponto: essa é a solução. Retas paralelas nunca se cruzam, então o sistema é impossível. Se as equações forem proporcionais, as duas retas são a mesma e há infinitas soluções.
No espaço (3×3), cada equação é um plano. A solução é a interseção dos três planos. Três planos que se cortam em um ponto dão solução única. Quando se cortam ao longo de uma reta, há infinitas soluções.
Eliminação de Gauss
A aula lista cada operação elementar, como L₂ ← L₂ − 3·L₁ (subtrair de uma linha um múltiplo de outra), e mostra a matriz aumentada depois de cada passo. As operações não mudam o conjunto de soluções. O objetivo é chegar a uma matriz escalonada, em que cada pivô está numa coluna mais à direita que o pivô da linha de cima.
Na forma reduzida (Gauss-Jordan), zeros também são criados acima de cada pivô, e a solução aparece diretamente na coluna do termo independente. Se aparecer um pivô na coluna de b (uma linha como 0 = 5), o sistema é impossível.
Por que o determinante importa
Para matriz quadrada, det A ≠ 0 garante solução única para qualquer b. Se det A = 0, A é singular: nunca há solução única; para alguns b há infinitas soluções e para os demais nenhuma.
Use os predefinidos para ver os três casos em 2×2 e 3×3, e arraste a ordem das equações: o resultado não muda, só os passos.
Desafios
Ajuste um sistema 2×2 para que as duas retas sejam paralelas e distintas. Qual relação entre os coeficientes isso impõe?
Dica
Retas paralelas têm coeficientes proporcionais nas incógnitas, mas termos independentes que não são proporcionais.
No sistema 3×3 com solução infinita, quantos parâmetros livres existem e o que eles representam geometricamente?
Dica
Observe a coluna sem pivô depois da eliminação. Os três planos se cortam ao longo de uma reta.
Crie um sistema 3×3 sem solução em que os três planos não são paralelos. Qual figura eles formam?
Dica
Use o predefinido de posto 2 com termos independentes incompatíveis; leia a descrição geométrica do painel.
Por que o determinante da matriz de coeficientes é zero quando o sistema tem infinitas soluções ou nenhuma?
Dica
Quando det = 0, existe combinação das linhas que se anula: o posto cai abaixo do número de incógnitas.
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Pré-requisitos
Próximos passos
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Veja também
Conceitos
Cada conceito leva à lista de aulas que o usam, por disciplina.
Trilha de estudo: Álgebra linear · Mapa de conceitos