Quadrilátero cíclico e o teorema de Ptolomeu

Quadrilátero cíclico e o teorema de Ptolomeu

Um quadrilátero é cíclico quando seus quatro vértices estão sobre uma mesma circunferência. Nesta aula, os vértices A, B e C definem o círculo circunscrito, e o vértice D é o ponto que você move. Os vértices A, B, C e D aparecem em ordem ao redor do quadrilátero.

O que observar

• Em um quadrilátero cíclico convexo, os ângulos opostos são suplementares: A + C = 180° e B + D = 180°. O painel mostra as duas somas.
• O teorema de Ptolomeu diz que, para um quadrilátero cíclico, AC · BD = AB · CD + BC · DA: o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos.
• Ative Prender D ao círculo e arraste D. Ele desliza sobre o círculo e a igualdade continua valendo.
• Desligue essa opção e arraste D para fora ou para dentro do círculo. A diferença lados − diagonais deixa de ser zero. Ela nunca fica negativa.

Ptolomeu e a desigualdade

Para quaisquer quatro pontos do plano vale a desigualdade de Ptolomeu:

AC · BD ≤ AB · CD + BC · DA

Com igualdade se, e somente se, os quatro pontos estão sobre um círculo (ou sobre uma reta), na ordem em que aparecem. Por isso a diferença do painel é um termômetro: ela mede o quanto o quadrilátero se afasta de ser cíclico.

Quando os lados se cruzam, a ordem dos vértices sobre o círculo não é a ordem do polígono. Nesse caso o quadrilátero não é convexo, e a igualdade de Ptolomeu se aplica à ordem do círculo, não à ordem dos vértices digitados.

Por que é verdade

Uma prova clássica usa semelhança de triângulos. Escolha um ponto E sobre a diagonal AC tal que o ângulo ABE seja igual ao ângulo DBC. Os ângulos em A e em D são iguais, porque ambos enxergam o arco BC (ângulos inscritos). Então os triângulos ABE e DBC são semelhantes, e daí AB / BD = AE / DC, ou seja, AB · DC = BD · AE.

Do mesmo modo, os ângulos em C e em D são iguais, porque ambos enxergam o arco AB. Como ∠EBC = ∠ABD, os triângulos BCE e BDA são semelhantes, e daí BC · DA = BD · EC.

Somando as duas igualdades: AB · CD + BC · DA = BD · (AE + EC) = BD · AC, que é o teorema. A ordem dos vértices sobre o círculo é usada nas duas semelhanças; por isso a igualdade falha quando a ordem muda.

Fórmulas relacionadas

• Fórmula de Brahmagupta: a área de um quadrilátero cíclico de lados a, b, c, d é K = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d)), com s o semiperímetro. Entre todos os quadriláteros com esses lados, o cíclico é o de maior área.
• Ângulos opostos: em um quadrilátero cíclico convexo, cada par de ângulos opostos soma 180°. Isso vem do teorema do ângulo inscrito: os dois ângulos opostos enxergam arcos que, juntos, formam a circunferência inteira.

Aplicações

• Trigonometria antiga: Ptolomeu usou o teorema para construir uma tabela de cordas, a antecessora da tabela de senos. Com um círculo de raio 1 (diâmetro 2), a corda de um arco α é 2 sen(α / 2), e as identidades de soma de ângulos saem diretamente da igualdade.
• Triângulo equilátero e um ponto no arco: se P está sobre o menor arco BC do círculo circunscrito a um triângulo equilátero ABC, então PA = PB + PC. Basta aplicar Ptolomeu ao quadrilátero ABPC.
• Problemas de olimpíada: quando um enunciado pede que um quadrilátero seja cíclico, a igualdade de Ptolomeu é uma forma de provar isso (a recíproca vale para quadriláteros convexos).

Curiosidade

O teorema leva o nome de Claudio Ptolomeu, que o apresentou no Almagesto, obra de astronomia escrita por volta do ano 150. Na época, o teorema era uma ferramenta para calcular cordas de círculos, que equivalem aos senos que usamos hoje. A tabela de cordas do Almagesto retoma trabalhos anteriores, como os de Hiparco, e serviu de base para a trigonometria astronômica por mais de mil anos.