Potência de ponto, eixo radical e centro radical

Potência de ponto, eixo radical e centro radical

Dado um ponto P e uma circunferência de centro O e raio r, a potência de P em relação à circunferência é

pot(P) = OP² − r²

O valor tem sinal: é positivo se P está fora do círculo, zero se P está sobre ele e negativo se P está dentro. A potência resume numa única conta a posição de P em relação ao círculo.

Nesta aula você move P e três circunferências (c1, c2 e c3). O painel mostra a potência de P em cada uma, a secante por P em c1, as tangentes, os eixos radicais e o centro radical.

O que observar

• A secante por P corta c1 em X e Y. O produto PX · PY, contado com sinal, é igual à potência de P. Mude a direção da secante e o produto continua o mesmo.
• Se P está fora, as tangentes a partir de P têm comprimento √pot(P), e os dois pontos de tangência são simétricos em relação à reta OP.
• O eixo radical de duas circunferências é a reta formada pelos pontos que têm a mesma potência nas duas. Ele é sempre perpendicular à reta dos centros.
• O centro radical de três circunferências é o ponto que tem a mesma potência nas três. Os três eixos radicais passam por ele.

Fórmulas

• Potência: pot(P) = |OP|² − r².
• Secante: se P + t·d (d unitário) corta a circunferência em t1 e t2, então t1 · t2 = pot(P).
• Tangente: PT² = pot(P).
• Eixo radical de (O1, r1) e (O2, r2): 2 (O2 − O1) · X = |O2|² − |O1|² − r2² + r1².

Por que é verdade

A secante e a tangente são casos do mesmo fato. Se a reta por P tem direção unitária d e corta o círculo em t1 e t2, as raízes da equação |P + t·d − O|² = r² são t1 e t2, e o produto das raízes de uma equação do segundo grau com coeficiente principal 1 é o termo independente, que é exatamente OP² − r². Quando as duas raízes coincidem, a reta é tangente e PT² = pot(P).

Para o eixo radical, basta igualar as potências. Se X tem pot1(X) = pot2(X), expandir |X − O1|² − r1² = |X − O2|² − r2² cancela o termo |X|² e deixa uma equação linear em X, que é uma reta. Ela é perpendicular a O1O2 porque o vetor normal é 2(O2 − O1).

Quando as duas circunferências se cortam, o eixo radical passa pelos dois pontos de interseção (ali a potência é zero nas duas). Quando se tocam por fora, o eixo é a tangente comum no ponto de contato.

Para o centro radical, dois eixos radicais se cruzam (se os centros não estão alinhados), e o ponto de cruzamento tem potência igual nas três circunferências, então o terceiro eixo também passa por ele. Se os centros estão alinhados, os eixos são paralelos e o centro radical não existe no plano.

Aplicações

• Construção de tangentes: as tangentes comuns a duas circunferências podem ser achadas com o eixo radical e um ponto dele.
• Problemas de concorrência: para mostrar que três retas ou três pontos são concorrentes ou alinhados, procure um círculo em cada par e use o centro radical.
• Potência e a demonstração de Euclides: os teoremas das secantes e das tangentes aparecem no livro III dos Elementos (proposições 35 e 36), séculos antes da linguagem de coordenadas.

Curiosidade

Quando os centros de três circunferências estão alinhados, o centro radical "vai para o infinito": os três eixos radicais são paralelos. A aula mostra exatamente isso no predefinido Centros colineares. Esse caso parece um detalhe, mas é o que separa os dois comportamentos da geometria: os eixos ou concorrem num ponto ou são paralelos, e não há meio-termo no plano.