Inversão circular

Inversão circular

Fixe um centro O e um raio r. A inversão leva cada ponto P (diferente de O) ao ponto P' que está sobre a semirreta OP e satisfaz

|OP| · |OP'| = r²

Assim, se P está perto de O, P' fica longe, e vice-versa. Pontos sobre o círculo de centro O e raio r são fixos. O centro O não tem imagem finita: ele vai para o infinito.

Esta aula mostra a inversão de um ponto P, de uma reta L1L2 e de um círculo γ. Arraste o centro O, o raio r e os demais objetos para ver as imagens mudarem.

O que observar

• |OP| · |OP'| = r² para qualquer P. O painel mostra os dois lados da igualdade.
• Uma reta que passa por O é levada nela mesma. Cada ponto e sua imagem estão na mesma semirreta a partir de O.
• Uma reta que não passa por O vira um círculo que passa por O.
• Um círculo que não passa por O vira outro círculo (que não passa por O).
• Um círculo que passa por O vira uma reta, perpendicular à reta que liga O ao centro do círculo.
• Um círculo ortogonal ao círculo de inversão (os dois se cortam em ângulo reto) é levado nele mesmo.

Fórmulas

• Ponto: P' = O + r² (P − O) / |P − O|².
• Reta a distância d de O, com pé F da perpendicular: a imagem é o círculo de diâmetro com extremos O e O + r² (F − O) / d². Seu raio é r² / (2d).
• Círculo de centro G e raio ρ que não passa por O: a imagem tem centro O + r² (G − O) / p e raio r² ρ / |p|, em que p = |OG|² − ρ² é a potência de O.
• Ortogonalidade: os círculos são ortogonais quando |OG|² = ρ² + r², ou seja, quando a potência de O em relação a γ é igual a r².

Por que é verdade

A demonstração do caso geral começa pela semelhança de triângulos: se P' é a imagem de P, então os triângulos OPQ e OQ'P' são semelhantes para qualquer Q do objeto, porque OP · OP' = OQ · OQ' = r². Essa semelhança transforma ângulos e distâncias de modo controlado, e é disso que vem a propriedade de preservar ângulos (a inversão é uma transformação conforme).

Para círculos, basta notar que a potência de O em relação a γ é p, e a imagem de cada ponto da circunferência é determinada pela mesma razão r² / p. O círculo imagem é homotético ao original com centro O e razão r² / p, o que dá a fórmula acima.

Aplicações

• Problemas de tangência: transformar um círculo que passa por O em uma reta simplifica muito a construção, porque retas são mais fáceis de manipular do que círculos.
• Desigualdade de Ptolomeu: uma demonstração elegante faz uma inversão centrada em um dos vértices do quadrilátero e usa a desigualdade triangular na figura imagem.
• Física: Lord Kelvin usou inversões em teoria do potencial elétrico, no chamado método das imagens, para encontrar o campo perto de cargas e condutores com formas circulares.
• Geometria hiperbólica: a inversão é a reflexão em um círculo. No modelo do disco de Poincaré, as isometrias são compostas de reflexões desse tipo.

Curiosidade

A inversão é uma ideia clássica da geometria, que se liga às propriedades da potência de ponto. Quem a sistematizou, e em que ano, varia conforme a fonte; por isso o texto não atribui essa autoria a uma pessoa. Uma reta, que se estende ao infinito, pode virar um círculo que passa pelo centro; e o círculo de inversão, que é fixo, separa a parte "perto" de O da parte "longe" de O, que se trocam. A inversão não mantém cada reta ou cada círculo como tais, mas leva toda reta ou círculo a uma reta ou a um círculo, e isso a torna uma ferramenta poderosa.