Polígonos regulares: lado, raio, apótema, ângulos e área

Polígonos regulares

Um polígono é regular quando todos os lados são iguais e todos os ângulos internos são iguais. O triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono da colmeia são exemplos. Dada a quantidade de lados n, uma única medida (lado, raio ou apótema) define o polígono inteiro.

Três medidas, uma figura

Todo polígono regular de n lados pode ser inscrito em uma circunferência de raio R (o circunraio) e também tem uma circunferência inscrita de raio a (o apótema, distância do centro ao meio de um lado). Com o lado s, valem as relações:

s = 2 R sen(π/n)

a = R cos(π/n)

s = 2 a tg(π/n)

Por isso, digitar qualquer uma das três medidas basta. A calculadora deduz as outras duas com essas fórmulas.

Ângulos

• Ângulo central: 360° / n. É o ângulo entre dois raios consecutivos.
• Ângulo externo: também 360° / n. Quando você anda pelo contorno e vira em cada vértice, gira esse ângulo; ao final da volta completa 360°.
• Ângulo interno: 180° - 360° / n, ou ((n - 2) × 180°) / n. Para o hexágono, dá 120°.

A soma dos ângulos internos é (n - 2) × 180°, porque o polígono se divide em n - 2 triângulos a partir de um vértice.

Área e perímetro

O perímetro é n s. A área é a soma de n triângulos iguais, cada um com base s e altura a:

Área = n s a / 2

Em função do raio, a área é (n / 2) R² sen(2π/n). Quando n cresce, a área se aproxima de π R², a área do círculo.

Diagonais e eixos de simetria

Cada vértice se liga a todos os outros, exceto aos dois vizinhos e a ele mesmo. Assim, cada vértice tem n - 3 diagonais, e o total é n (n - 3) / 2.

Um polígono regular de n lados tem n eixos de simetria: passam pelo centro e, ou por dois vértices opostos, ou pelos pontos médios de dois lados opostos (para n ímpar, cada eixo passa por um vértice e pelo lado oposto). Também há simetria de rotação de ordem n.

Por que a fórmula do ângulo externo é verdadeira

Ande pelo contorno do polígono. A cada vértice, você gira o mesmo ângulo externo, e ao completar a volta o total de giros é 360°. Como os giros são todos iguais, cada um mede 360° / n.

Aplicações

• Colmeias: as células são hexágonos regulares, a forma que guarda mais área com menos cera no perímetro.
• Porcas e parafusos: a cabeça sextavada encaixa em chave de forma firme.
• Arte e arquitetura: mosaicos e rosáceas de igrejas se baseiam em polígonos regulares.

Curiosidade

Não existe polígono regular com ângulo interno de 100°: o ângulo interno de qualquer polígono regular é 180° - 360°/n, e 100° daria n = 4,5, que não é inteiro. Os valores possíveis são uma lista restrita, e é essa restrição que deixa poucos mosaicos regulares (veja a aula de mosaicos).