Quadriláteros: quadrado, retângulo, losango, paralelogramo, trapézio e pipa

Quadriláteros

Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. Ele é convexo quando todas as diagonais ficam dentro da figura, e côncavo quando um dos ângulos internos é maior que 180°. Quando os lados se cruzam, o desenho deixa de ser um polígono simples.

Uma cadeia de classificações

As famílias de quadriláteros se encaixam. Cada tipo mais específico herda as propriedades do anterior:

• Trapézio: tem um par de lados paralelos (as bases). Se os lados não paralelos são iguais, é um trapézio isósceles.
• Paralelogramo: tem os dois pares de lados opostos paralelos. Lados opostos são iguais e ângulos opostos são iguais.
• Retângulo: paralelogramo com ângulos retos.
• Losango: paralelogramo com quatro lados iguais.
• Quadrado: retângulo e losango ao mesmo tempo, com quatro ângulos retos e quatro lados iguais.
• Pipa: dois pares de lados consecutivos iguais (como uma pipa de papel). Uma diagonal é eixo de simetria.

Por isso o quadrado aparece como "também é" retângulo, losango e paralelogramo na calculadora.

Diagonais

As diagonais ligam vértices não consecutivos. Algumas propriedades são características de cada tipo:

• Em todo paralelogramo, as diagonais se cortam ao meio (cada uma é cortada no ponto médio pela outra).
• No retângulo, as diagonais têm o mesmo comprimento.
• No losango, as diagonais são perpendiculares e bissetrizes dos ângulos.
• No quadrado valem as duas coisas: são iguais, perpendiculares e se cortam ao meio.

Área: fórmula de Gauss

Para um polígono simples com vértices (x₁; y₁), ..., (xₙ; yₙ) na ordem, a área é o módulo de

½ |Σ (xᵢ yᵢ₊₁ - xᵢ₊₁ yᵢ)|

com o índice somado em ciclo. A fórmula funciona para qualquer polígono simples e dispensa a altura. Para o retângulo de base b e altura h, a soma dá b h, como esperado.

Soma dos ângulos internos

Um quadrilátero convexo soma 360°. Basta traçar uma diagonal: ela divide a figura em dois triângulos, e cada triângulo soma 180°. A calculadora mostra a soma para todos os casos convexos.

Por que a classificação é verdadeira

Dois segmentos são paralelos quando seus vetores têm produto vetorial nulo. A calculadora usa esse teste para os pares de lados e compara os comprimentos dos lados com uma tolerância, porque a medida em computador nunca é exata. Ângulos retos são testados pelo produto escalar igual a zero.

Aplicações

• Arquitetura e construção: portas, janelas e lajes são retângulos; o losango aparece em treliças.
• Mecânica: o mecanismo de paralelogramo mantém a plataforma de uma mesa de elevação sempre paralela ao chão.
• Computação gráfica: as superfícies de objetos 3D são geralmente malhas de triângulos, porque três pontos sempre definem um plano. Um quadrilátero plano pode ser dividido em dois triângulos.

Curiosidade

O paralelogramo articulado (quatro barras com dois pares iguais) aparece em alguns limpadores de para-brisa: a lâmina se desloca mantendo sempre a mesma orientação.