Mosaicos: quais polígonos ladrilham o plano

Mosaicos: quais polígonos ladrilham o plano

Ladrilhar (ou cobrir, ou pavimentar) o plano é preencher toda a superfície com polígonos que não se sobrepõem e não deixam buracos. Pisos de casa, parede de banheiro e tecidos de estampa usam padrões de ladrilhamento. A pergunta clássica é: quais polígonos regulares sozinhos conseguem isso?

A regra do vértice

Em um ladrilhamento regular, os polígonos encontram-se em vértices. Em torno de cada vértice, os ângulos internos dos polígonos que se encontram ali devem somar exatamente 360°: uma volta completa. Se a soma for menor, sobra um buraco; se for maior, os polígonos se sobrepõem.

O ângulo interno de um polígono regular de n lados é

ângulo interno = 180° - 360° / n

Para que um polígono sozinho ladrilhe, 360° tem de ser múltiplo exato do ângulo interno, ou seja, 360 / (180 - 360/n) deve ser inteiro.

Quais funcionam

• Triângulo equilátero (60°): seis cabem em volta de um vértice, 6 × 60° = 360°.
• Quadrado (90°): quatro cabem, 4 × 90° = 360°.
• Hexágono regular (120°): três cabem, 3 × 120° = 360°.

Para n = 5 ou mais, nenhum outro funciona sozinho: o pentágono tem 108° (três cabem e sobram 36°); o octógono tem 135° (dois cabem e sobram 90°, mas 360 / 135 não é inteiro); o dodecágono tem 150°, e assim por diante. Os ângulos internos crescem com n e se aproximam de 180°, então é cada vez mais difícil fechar uma volta com um número inteiro deles.

Por que só esses três

A conta é simples: 360 / (180 - 360/n) só é inteiro para n = 3, 4 e 6. Não há outra solução entre os polígonos regulares. Assim, se você quer um padrão feito só de um tipo de polígono regular, a escolha é triângulo, quadrado ou hexágono.

Semirregulares: misturando polígonos

Podemos usar mais de um tipo de polígono regular, desde que, em cada vértice, a sequência de polígonos seja sempre a mesma e some 360°. Essas são as configurações de Arquimedes (ou semirregulares). Existem oito. Cada uma é descrita pela sequência de lados dos polígonos em volta do vértice:

• 3.3.3.3.6, 3.3.3.4.4, 3.3.4.3.4, 3.4.6.4, 3.6.3.6, 3.12.12, 4.6.12 e 4.8.8.

Por exemplo, em 3.4.6.4 (triângulo, quadrado, hexágono, quadrado): 60 + 90 + 120 + 90 = 360°. Em 4.8.8: 90 + 135 + 135 = 360°.

Por que são verdadeiras

Cada uma das oito configurações tem, em todo vértice, polígonos cujos ângulos somam exatamente 360°, e o padrão se repete por translação, então a mesma soma vale em todos os vértices. A soma de 360° é necessária, mas não basta: os polígonos também precisam se encaixar lado a lado sem sobrar frestas. A aula confere a soma pelos ângulos; que essas oito são todas as configurações é um resultado clássico, que esta aula não demonstra.

Aplicações

• Arquitetura e pisos: triângulos, quadrados e hexágonos são os azulejos mais comuns.
• Química: a grafita e o grafeno têm átomos em malha hexagonal, por causa do ângulo de 120°.
• Biologia: as células de uma colmeia são hexágonos, a forma que cobre a área com menos cera.

Curiosidade

Em 1619, Johannes Kepler já havia estudado os mosaicos do plano, e a classificação completa dos ladrilhamentos com polígonos regulares foi feita há séculos. Os mosaicos de Escher, com pássaros e peixes, são feitos com polígonos deformados que ainda obedecem a essa regra de 360° em cada vértice.