Transformações de funções: a·f(b(x − h)) + k

Transformações de funções

Dada uma função f, a família g(x) = a·f(b(x − h)) + k produz gráficos parecidos com o original, mas posicionados e deformados de maneira controlada. Cada parâmetro faz uma coisa específica, e saber ler essa ação permite desenhar uma função a partir de outra.

Os quatro parâmetros

• a age sobre os valores de y: multiplica a altura por |a|. Se |a| > 1, o gráfico se estica verticalmente; se |a| < 1, se comprime. Se a < 0, ele também é refletido em torno do eixo x.
• b age sobre os valores de x, dentro do argumento da função. Com |b| > 1 o gráfico se comprime horizontalmente (o período de sen(bx) é 2π/|b|). Se b < 0, há reflexão em torno do eixo y. Se b = 0, o argumento some e g fica constante.
• h desloca o gráfico para a direita quando é positivo, porque x − h tem de valer o que valia antes. O vértice de (x − h)² está em x = h.
• k desloca o gráfico verticalmente: para cima se k > 0 e para baixo se k < 0.

A ordem importa: primeiro o deslocamento horizontal (x − h), depois a escala horizontal (b), depois a vertical (a) e o deslocamento vertical (k). Por isso h e b aparecem juntos como b(x − h), e não como bx − h.

O ponto que anda

Um ponto P = (x₀, f(x₀)) do gráfico original é levado a um ponto do gráfico transformado: g(h + x₀/b) = a·f(x₀) + k. Por isso o ponto transformado é (h + x₀/b, a·f(x₀) + k). Arrastar P mostra esse caminho com um segmento tracejado. Se b = 0, o eixo x colapsa e não existe um ponto correspondente.

Domínio e imagem

O domínio de g é o conjunto de x para os quais o argumento b(x − h) está no domínio de f. Por exemplo, sqrt(x + 4) − 1 tem domínio x ≥ −4. A imagem é o conjunto de valores que g assume. A ferramenta mostra o domínio e a imagem apenas dentro da janela visível e por amostragem, então é uma aproximação. Fora do domínio o gráfico não é desenhado, e nenhum valor inválido aparece nos resultados.

Aplicações

Essas transformações aparecem em física (uma onda senoidal de amplitude a, frequência b e fase deslocada pelo parâmetro h), em estatística (padronizar uma variável é uma transformação linear) e em computação gráfica (escalar e mover figuras). Reconhecer a forma a·f(b(x − h)) + k em uma fórmula permite esboçar o gráfico sem calcular muitos pontos.