Fibonacci e a espiral

Fibonacci e a espiral

A sequência de Fibonacci começa com 1, 1 e cada termo é a soma dos dois anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… Formalmente, t₁ = 1, t₂ = 1 e tₙ = tₙ₋₁ + tₙ₋₂. Ela aparece com frequência na natureza, mas a regra é simples: um termo depende apenas dos dois anteriores.

O que a aula mostra

• Espiral de quadrados: cada quadrado tem como lado um termo da sequência e é encostado no conjunto anterior, girando sempre no mesmo sentido. Com a configuração 1, 1, o encaixe fica perfeito e os arcos formam a espiral.
• Razão entre termos: tₙ ÷ tₙ₋₁ oscila em torno de um valor e converge para φ = (1 + √5) ÷ 2 ≈ 1,6180339887, a razão áurea. A convergência é rápida: depois de poucos termos, a diferença já é menor que uma milésima.
• Sequências gerais: você pode começar com quaisquer dois inteiros positivos, a e b. Com 2 e 1 surge a sequência de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11…). A razão entre termos também converge para φ, porque a regra é a mesma.
• Fórmula de Binet: uₙ = (φⁿ − ψⁿ) ÷ √5, com ψ = (1 − √5) ÷ 2, dá o termo n direto, sem somar os anteriores. Para outros inícios, os coeficientes A e B da solução mudam, mas a estrutura é a mesma.

Por que a razão converge para φ?

Se a razão r = tₙ ÷ tₙ₋₁ tende a um limite L, então tₙ ÷ tₙ₋₁ e tₙ₋₁ ÷ tₙ₋₂ tendem ao mesmo L. Dividindo a regra tₙ = tₙ₋₁ + tₙ₋₂ por tₙ₋₁ obtemos:

r = 1 + 1 ÷ r, ou seja, r² − r − 1 = 0.

A raiz positiva dessa equação é φ = (1 + √5) ÷ 2. A outra raiz, ψ, é negativa e tem módulo menor que 1; por isso o efeito dela desaparece com o tempo, e os termos crescem como φⁿ. A fórmula de Binet é exatamente essa solução, ajustada aos valores iniciais.

Por que a espiral parece suave?

Em cada quadrado, um arco de círculo liga dois cantos. Como cada arco começa onde o anterior termina e o raio cresce com a sequência, as curvas se encaixam sem quebra. O resultado se parece com a concha de um náutilo, embora a concha real siga uma espiral logarítmica parecida, mas não idêntica. Para outros inícios, como 2 e 1, a figura mostra só os quadrados, porque a construção de arcos contínuos depende da sequência 1, 1.

Aplicações e histórico

• Plantas: o número de espirais em girassóis, pinhas e abacaxis costuma ser um par de termos consecutivos da sequência, por exemplo 34 e 55.
• Computação: a recorrência aparece em análise de algoritmos, estruturas de dados (heaps de Fibonacci) e na busca de Fibonacci, que usa termos da sequência para dividir o intervalo de busca.
• Histórico: Leonardo de Pisa, o Fibonacci, apresentou a sequência ao mundo ocidental em 1202, no Liber Abaci, ao estudar a reprodução de coelhos num problema idealizado. Ela já aparecia na matemática indiana antes disso.

Curiosidades

• A soma dos n primeiros termos é o termo de ordem n + 2 menos 1: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = 21 − 1.
• Na sequência clássica (1, 1, 2, 3…), dois termos consecutivos são sempre primos entre si: mdc(tₙ, tₙ₋₁) = 1.
• A fórmula de Binet já havia sido obtida antes por De Moivre, em 1730, e o nome de Binet ficou por causa de sua publicação de 1843.
• O nome "números de Fibonacci" foi consolidado no século XIX por Édouard Lucas, que também estudou a variante que hoje leva o seu nome.