Transformações do plano e composição

Transformações do plano e composição

Uma transformação do plano é uma regra que leva cada ponto P a um ponto P'. Nesta aula você escolhe duas transformações, uma após a outra, e aplica a composição a um triângulo. A figura original está em azul, a imagem depois da primeira etapa em tracejado, e a imagem final em verde.

Quatro tipos estão disponíveis:

• Translação por um vetor (vx; vy).
• Rotação de um ângulo em torno de um centro.
• Reflexão no eixo que passa por um ponto, com a direção dada.
• Homotetia de centro C e razão k: P' = C + k(P − C).

O que observar

• A matriz 2x3 da composição aparece no painel: [a, b, e / c, d, f] significa x' = a·x + b·y + e e y' = c·x + d·y + f. É o mesmo formato usado pelo contexto de desenho em canvas e em SVG.
• O determinante mostra o fator de área com sinal. Se ele é negativo, a transformação inverte a orientação.
• A classificação diz o que a composição faz: rotação, reflexão, reflexão deslizante, homotetia ou semelhança.
• O ponto fixo, quando existe, é marcado com F.
• Ajuste as duas etapas na ordem inversa (a transformação da etapa 2 passa para a etapa 1, e vice-versa) e compare a matriz: transformações em geral não comutam. Reflexão seguida de translação e translação seguida de reflexão podem dar resultados diferentes.

Como a matriz é construída

Cada transformação vira uma matriz 2x3. A composição de duas delas é o produto das matrizes 3x3 com última linha (0, 0, 1). Para uma rotação de ângulo θ em torno de C, a parte linear é

[cos θ, −sen θ; sen θ, cos θ]

e a translação é C − R·C, de modo que o centro fica fixo. Para uma homotetia de razão k, a parte linear é k·I.

Classificação das isometrias

Uma isometria preserva distâncias. Toda isometria do plano é uma destas quatro:

• translação (parte linear igual à identidade, determinante +1);
• rotação (determinante +1, ângulo diferente de zero, com um único ponto fixo);
• reflexão (determinante −1, com uma reta de pontos fixos);
• reflexão deslizante (reflexão seguida de translação paralela ao eixo; não tem ponto fixo).

Para semelhanças (que multiplicam distâncias por um fator constante s), há ainda a homotetia (razão s, sem rotação), a semelhança direta (rotação mais homotetia, em espiral em torno de um ponto fixo) e a semelhança indireta (reflexão mais homotetia).

Por que é verdade

A classificação sai da forma da parte linear L. Se L é ortogonal (colunas perpendiculares e de mesmo comprimento s), a transformação preserva ângulos. Com s = 1 é uma isometria; com det = +1 ela preserva orientação, e com det = −1 inverte. Quando L é uma rotação, o ponto fixo resolve (I − L) X = t, que tem solução única quando det(I − L) ≠ 0. Quando L é uma reflexão, I − L = 2nnᵀ é singular, e o sistema tem solução (uma reta de pontos fixos) só se a translação t é perpendicular ao eixo; caso contrário, a parte de t paralela ao eixo é o deslize.

Um resultado clássico é que duas reflexões em retas concorrentes equivalem a uma rotação, de ângulo igual ao dobro do ângulo entre as retas, em torno do ponto de interseção. Duas reflexões em retas paralelas equivalem a uma translação pelo dobro da distância entre elas.

Aplicações

• Computação gráfica: todo objeto na tela passa por matrizes desse tipo. O contexto de canvas usa exatamente a notação 2x3 em transform(a, b, c, d, e, f).
• Robótica: a posição de um braço articulado é a composição de rotações e translações, uma por junta.
• Padrões e cristalografia: os 17 grupos de simetria planar (os grupos de papel de parede) são exatamente os conjuntos de isometrias que deixam um padrão periódico invariante. Os desenhos de M. C. Escher seguem esses grupos.
• Geometria de Klein: no programa de Erlangen (1872), Felix Klein propôs estudar cada geometria como o estudo das propriedades invariantes por um grupo de transformações. Euclidiana, afim e projetiva são grupos cada vez maiores.

Curiosidade

Uma composição de três reflexões é sempre uma reflexão ou uma reflexão deslizante, nunca uma rotação nem uma translação. Por isso o conjunto das isometrias indiretas é fechado nesse sentido: a orientação só volta a ser preservada quando o número de reflexões é par. Esse é um pequeno exemplo de como a álgebra das transformações revela a geometria sem precisar desenhar nada.