Arraste a figura e o ponto E, escolha reflexão, rotação ou translação e veja a imagem com a verificação de que lados e áreas se preservam. Veja também os eixos de simetria e a ordem de rotação de polígonos regulares.
Uma transformação muda a posição de uma figura no plano. Algumas transformações preservam a forma e o tamanho: são chamadas isometrias. As três básicas são a reflexão, a rotação e a translação.
A reflexão espelha a figura em uma reta, chamada eixo. Cada ponto P vai para P' tal que o eixo é a mediatriz do segmento PP'. Uma reflexão aplicada duas vezes devolve a figura ao lugar original.
Por inverter o "lado" de cada contorno, a reflexão inverte a orientação: um triângulo com vértices no sentido horário passa a ter vértices no anti-horário. É isso que a calculadora mostra como "invertida (como um espelho)".
A rotação gira a figura por um ângulo θ em torno de um centro E. Ela preserva lados, áreas e orientação. Compor duas rotações com o mesmo centro gera outra rotação, com ângulo igual à soma dos dois.
A rotação de 180° em torno de um ponto é chamada de simetria central: cada ponto vai para o simétrico em relação ao centro.
A translação desloca toda a figura pelo mesmo vetor v. Ela também preserva lados, áreas e orientação. Duas translações sucessivas equivalem a uma só, cujo vetor é a soma dos dois vetores.
Para qualquer isometria, a distância entre dois pontos é a mesma antes e depois. Por isso os lados têm o mesmo comprimento e a área não muda. A calculadora verifica isso comparando todos os lados e as áreas, e mostra a maior diferença encontrada (que deve ser zero, salvo arredondamento).
Um polígono regular de n lados tem n eixos de simetria. Cada eixo passa pelo centro e divide a figura em duas metades que são espelhos uma da outra.
A ordem de rotação de um polígono regular é n: a figura volta a coincidir consigo mesma ao girar 360°/n em torno do centro. Como ela coincide após n giros de 360°/n, a ordem é n.
Uma figura sem simetria de rotação, como a seta da calculadora, tem ordem 1: só volta a si mesma após uma volta completa.
Compor duas simetrias de um polígono dá sempre outra simetria dele, e toda simetria tem uma inversa. Esse conjunto se chama grupo de simetrias. Para o polígono regular de n lados, o grupo tem 2n elementos: n rotações e n reflexões. Esse é o grupo diedral D_n.
Cristais só podem ter ordens de rotação 1, 2, 3, 4 ou 6, nunca 5. Essa restrição vem de geometria e impede que um cristal ladrilhe o espaço com simetria de rotação de 5 vezes. Quasi-cristais, descobertos nos anos 1980, têm simetria de 5 vezes, mas não são periódicos.
Faça uma reflexão da figura em uma reta inclinada de 45 graus. Por que a imagem tem orientação invertida?
Uma reflexão troca o lado 'de dentro' e 'de fora' de cada contorno, por isso a orientação dos vértices muda.
Compare a rotação de 90 graus com a de 180 graus em torno de (1; 1). Qual é a relação entre as duas imagens?
Use os casos notáveis e observe a posição da imagem da origem O em cada caso.
Quantos eixos de simetria tem um octógono regular? E sua ordem de rotação?
Escolha n = 8 na segunda vista e leia o painel: eixos e ordem de rotação.
Uma translação seguida de outra é equivalente a uma só translação. Qual vetor a substitui?
Some os vetores. O resultado é a soma vetorial das duas translações.
Cada conceito leva à lista de aulas que o usam, por disciplina.
Trilha de estudo: Geometria · Mapa de conceitos