Semelhança e o Teorema de Tales

Semelhança e o Teorema de Tales

Duas figuras são semelhantes quando uma é uma ampliação ou redução da outra, sem distorção: os ângulos correspondentes são iguais e os lados correspondentes são proporcionais. A constante de proporção é a razão de semelhança k.

Teorema de Tales

Se duas retas paralelas cortam duas transversais que se encontram em um ponto O, os segmentos determinados nas transversais são proporcionais:

OA / OB = OA' / OB'

Os pontos A e B estão sobre o primeiro raio, e A' e B' sobre o segundo. A razão não depende da direção das paralelas, só das posições de A e B. Por isso, arrastar as paralelas (mudando ψ) não altera a proporção.

Uma consequência útil: a razão entre os segmentos AA' e BB' também é OA : OB, porque os dois triângulos formados com O são semelhantes.

Por que é verdade

Os ângulos OAA' e OBB' são iguais porque são correspondentes: a reta OA corta as paralelas AA' e BB'. O ângulo em O é comum aos dois triângulos. Como os três ângulos são iguais, os triângulos OAA' e OBB' são semelhantes, e seus lados são proporcionais.

Razão de semelhança e escala

Se um triângulo tem razão de semelhança k em relação a outro:

• cada lado da cópia é k vezes o lado correspondente;
• o perímetro é k vezes o perímetro original (soma de três lados, cada um multiplicado por k);
• a área é k² vezes a área original, porque a área é um produto de duas medidas de comprimento.

Por isso, dobrar as dimensões de um triângulo quadruplica a área, e triplicá-las multiplica a área por nove.

Ângulos iguais

Triângulos semelhantes têm os mesmos três ângulos. Os lados mudam de tamanho, mas as aberturas nos vértices são as mesmas. A calculadora mostra os ângulos da figura original e da cópia para confirmar.

Aplicações

• Mapas e plantas: uma escala de 1 : 10 000 é uma razão de semelhança de 1/10 000.
• Medição indireta: a altura de uma árvore se mede com a sombra de uma vara, usando Tales.
• Fotografia e projeção: para objetos distantes, a imagem no sensor é semelhante ao objeto, na razão entre a distância focal e a distância do objeto.

Curiosidade

Diz a tradição que Tales de Mileto mediu a altura da pirâmide de Quéops pela sombra, comparando com a sombra de um bastão de altura conhecida. O método é exatamente o Teorema de Tales: as razões das alturas são iguais às razões das sombras, porque os raios do Sol chegam paralelos.