Seções cônicas: o plano corta o cone

Seções cônicas: o plano corta o cone

Imagine um cone duplo (duas folhas unidas pelo vértice) e um plano que o corta. A curva que o plano desenha no cone é uma cônica: círculo, elipse, parábola ou hipérbole. Esta aula mostra que todas elas saem do mesmo cone, mudando só a inclinação do plano.

Dois ângulos decidem tudo

• α: semiângulo do cone, entre o eixo e a geratriz (a reta que forma a superfície).
• β: ângulo entre o plano de corte e o eixo.

Compare os dois:

• β = 90°: o plano é perpendicular ao eixo, e a seção é um círculo.
• α < β < 90°: o plano é mais inclinado que a geratriz, e a seção é uma elipse (fechada).
• β = α: o plano é paralelo a uma geratriz, e a seção é uma parábola (aberta, um só ramo).
• β < α: o plano corta as duas folhas, e a seção é uma hipérbole (dois ramos).

Excentricidade

A forma da cônica pode ser resumida por um número, a excentricidade:

e = cos β / cos α

Círculo tem e = 0; elipse, 0 < e < 1; parábola, e = 1; hipérbole, e > 1. Para as cônicas no plano, a mesma excentricidade é a razão entre a distância de um ponto ao foco e à diretriz.

Semieixos da elipse

Quando o plano está a distância d do vértice, a elipse tem semieixos (medidos no plano):

• a = k·d·sen β / A (no sentido da inclinação), e b = k·d·sen β / √A (no sentido horizontal);
• k = tan α e A = sen²β − k²·cos²β.

Com A > 0 há elipse. Quando A = 0, é parábola; A < 0, hipérbole. Para o círculo, a = b = d·tan α.

Caso degenerado

Se o plano passa pelo vértice (d = 0), a seção não é uma cônica comum: pode ser um ponto, uma reta ou um par de retas. A aula avisa essa situação.

Arraste a cena para ver a curva de vários ângulos. As predefinições levam a cada um dos casos clássicos.