Mandelbrot e Julia

Mandelbrot e Julia

Para cada número complexo c, calcule a sequência z₀ = 0, z₁ = z₀² + c, z₂ = z₁² + c, e assim por diante. Se a sequência fica limitada, c pertence ao conjunto de Mandelbrot. Se ela cresce sem parar, c fica de fora. As cores mostram com que velocidade cada ponto escapa: quanto mais iterações até escapar, mais quente ou mais clara a cor.

A figura da esquerda é o conjunto de Mandelbrot. Arraste o ponto c sobre ela. A figura da direita é o conjunto de Julia correspondente ao mesmo c: agora c é fixo, e o que varia é o ponto de partida z₀, que percorre o plano.

O que observar

• Dentro do conjunto (cores escuras no centro): a órbita de 0 não escapa. A Julia de um c desses é um pedaço só.
• Fora do conjunto: a Julia se desfaz em poeira de pontos.
• Na fronteira: as formas mais intrincadas, com espirais e "coelhos". Os detalhes exigem mais iterações para aparecer.
• Use Coelho, Dendrito e Poeira nos casos notáveis para ver exemplos característicos. O caso Quase na fronteira mostra uma Julia com espirais: o c fica logo fora de Mandelbrot, então a figura é desconexa, mas quase conexa.

Por que a sequência escapa?

Um critério simples garante a fuga. Se |c| ≤ 2 e |z| > 2, então:

|z² + c| ≥ |z|² − |c| ≥ |z|² − 2 > |z|

Ou seja, a distância de z à origem cresce a cada passo e tende ao infinito. Por isso basta acompanhar a órbita até |z| passar de 2: se isso acontecer, o ponto está fora; se não acontecer até o limite de iterações, consideramos que pertence ao conjunto. Essa é uma aproximação, porque o limite de iterações é finito.

Conexidade

Gaston Julia e Pierre Fatou estudaram essas iterações por volta de 1918, sem computadores. O resultado central é: o conjunto de Julia de c é conexo se, e somente se, c pertence ao conjunto de Mandelbrot. Por isso a aula diz "conexa" ou "desconexa" no painel, de acordo com o c escolhido.

Coloração suave

Um escape com n iterações e |z| = r produz uma cor que varia continuamente com n + 1 − log₂(log r). Essa fórmula evita faixas duras entre as iterações inteiras, e as cores ficam suaves.

Aplicações

• Computação gráfica: fractais são usados para gerar terrenos, nuvens e texturas.
• Compressão de imagens: a ideia de que uma figura se repete em escalas menores foi explorada em compressão fractal.
• Dinâmica complexa: o estudo de iterações de funções é base de sistemas dinâmicos e de métodos numéricos, como o de Newton para raízes de polinômios.

Curiosidades

• O conjunto de Mandelbrot recebeu esse nome em homenagem a Benoit Mandelbrot, que em 1980 popularizou as imagens em computador, feitas no laboratório da IBM.
• O "coelho" de Douady, perto de c = −0,123 + 0,745i, leva o nome do matemático Adrien Douady, que estudou essa Julia.
• A fronteira do conjunto de Mandelbrot tem dimensão de Hausdorff igual a 2, um resultado demonstrado por Mitsuhiro Shishikura em 1991.
• Apesar da complexidade, a equação é z ← z² + c: uma linha só, com um parâmetro.