Lugares geométricos: o traço de um ponto por construção

Lugares geométricos: o traço de um ponto por construção

Um lugar geométrico é o conjunto de todos os pontos que satisfazem uma propriedade. Uma forma comum de obtê-lo é por construção: um ponto P percorre um caminho, outro ponto Q é definido a partir de P por uma regra, e o conjunto dos Q que aparecem é o traço.

Nesta aula você escolhe uma construção e arrasta o ponto P. O ponto P fica restrito ao caminho (uma reta ou uma circunferência), e o traço de Q é desenhado por completo. O painel mostra a relação geométrica que a construção garante, com valores atuais.

As construções

• Mediatriz: P percorre a reta y = 0. Q é a interseção da mediatriz de AP com a perpendicular à reta y = 0 que passa por P. O traço de Q é a parábola de foco A e diretriz y = 0.
• Círculo de Apolônio: os pés das bissetrizes interna e externa do ângulo APB sobre a reta AB dividem AB na razão PA : PB. Esses dois pontos são extremos de um diâmetro do círculo de Apolônio. O painel mostra o centro Q desse círculo.
• Cicloide: uma roda de raio r rola sobre o eixo x. O ponto Q está a distância d do centro da roda. Quando d = r, o traço é a cicloide.
• Elipse do jardineiro: P percorre a circunferência de raio R centrada em O. Q é a interseção da mediatriz de AP com a reta OP. O traço é a elipse de focos O e A e eixo maior R.
• Concoide de Nicomedes: P percorre a reta y = h. Q está sobre a semirreta OP, a distância k de P. O traço é a concoide.

O que observar

• Na mediatriz, a relação é QA = distância de Q à reta y = 0. Ela define a parábola.
• Na elipse do jardineiro, QO + QA é igual ao raio R em todo o traço, por isso as duas distâncias somam uma constante, que é a definição de elipse.
• No círculo de Apolônio, PA/PB é igual à razão AQi/QiB dos pés das bissetrizes, e o centro é o ponto médio deles.
• Na cicloide, o ponto de contato da roda com o eixo está sempre no ponto de velocidade instantânea zero.
• Na concoide, a distância |PQ| é constante e igual a k, e o traço se aproxima de uma assíntota quando P se afasta da origem.

Fórmulas

• Mediatriz (P = (p; 0), A = (ax; ay)): Q = (p; ((p − ax)² + ay²) / (2ay)).
• Cicloide (centro da roda em (x; r), ângulo θ = x / r): Q = (x − d sen θ; r − d cos θ). Com d = r, x = r(θ − sen θ) e y = r(1 − cos θ).
• Elipse do jardineiro (O na origem, u = P/|P|, a = A): Q = s·u, com s = (R² − |a|²) / (2(R − u · a)).
• Concoide: Q = P + k · P/|P|.
• Círculo de Apolônio: Qi = (PB·A + PA·B)/(PA + PB) (divisão interna) e Qe = (PB·A − PA·B)/(PB − PA) (divisão externa).

Por que é verdade

Na elipse do jardineiro, Q está na mediatriz de AP, então QA = QP. Como P está sobre a circunferência de raio R centrada em O, QO + QP = R. Substituindo QP por QA, temos QO + QA = R. Como R é maior que a distância OA (A está dentro da circunferência), essa soma define exatamente a elipse de focos O e A.

No círculo de Apolônio, a bissetriz interna do ângulo APB divide AB na razão PA : PB, e a bissetriz externa divide AB externamente na mesma razão. Os dois pontos são harmônicos em relação a A e B, e o segmento entre eles é um diâmetro do círculo de todos os pontos X com XA/XB = PA/PB.

A cicloide sai de rolar sem deslizar: a roda gira um ângulo θ enquanto o centro avança rθ. Assim, o ponto de contato, que está no chão, e o ponto Q estão ligados pela rotação, e a posição de Q é a soma do movimento de translação com a rotação em torno do centro.

Aplicações

• Engrenagens: os dentes de muitas engrenagens são perfis cicloidais (epicicloides e hipocicloides), porque o contato rola sem deslizar.
• Relógios de pêndulo: Christiaan Huygens mostrou que um pêndulo cujo fio se encurva ao longo de arcos de cicloide tem período independente da amplitude (tautócrona).
• Problemas de tempo mínimo: a cicloide é a solução do problema da braquistócrona, a curva de descida mais rápida entre dois pontos sob gravidade, proposto por Johann Bernoulli em 1696.
• Ótica e cônicas: o traço da mediatriz é a parábola que concentra raios paralelos no foco, o mesmo princípio de antenas parabólicas.

Curiosidade

A concoide de Nicomedes, criada por volta de 180 a.C., foi usada pelo próprio autor para trissecar ângulos e para resolver o problema da duplicação do cubo. Essas construções são impossíveis só com régua e compasso, mas a concoide permite resolvê-las com um instrumento a mais. O nome vem da palavra grega para "concha", porque a curva lembra essa forma em um dos seus ramos.