Dados e probabilidade

Dados e probabilidade

Jogue dois dados e some as faces. O 7 aparece com mais frequência, e os extremos 2 e 12 raramente. Quanto mais jogadas, mais o histograma se parece com a distribuição teórica, mostrada com a linha tracejada.

A conta exata

Um dado honesto tem seis faces, todas com a mesma chance. Com dois dados, há 6 × 6 = 36 pares igualmente prováveis. A soma s só depende de quantos pares dão s. Para s = 7, os pares são (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) e (6, 1): seis pares, ou seja, 6/36 = 1/6 ≈ 16,7%.

Em geral, com dois dados, a soma s aparece em 6 − |s − 7| pares, para s de 2 a 12. Por isso o gráfico é um triângulo centrado no 7. Com 2 dados, P(2) = 1/36, P(7) = 6/36 e P(12) = 1/36.

Média e variância

Cada dado tem média 3,5 e variância 35/12. Para a soma de k dados independentes, as médias se somam e as variâncias também se somam:

• média da soma = 3,5 · k
• variância da soma = 35k ÷ 12
• desvio padrão = √(35k ÷ 12)

Repare na diferença: a variância cresce com k, mas o desvio padrão cresce com a raiz de k. Por isso, dez dados têm média 35, mas a dispersão relativa cai à medida que k aumenta.

Lei dos grandes números

Se você repetir o lançamento muitas vezes, a frequência de cada soma se aproxima da probabilidade teórica. Esse é o princípio da lei dos grandes números. O erro médio entre a simulação e a teoria cai com o número de lançamentos, mas não chega a zero exatamente: ele fica na ordem de 1/√N para cada soma.

A aula mostra o erro médio em pontos percentuais, a diferença média entre a frequência simulada e a probabilidade exata, somada sobre todas as somas possíveis.

Como usar a aula

• Escolha de 1 a 6 dados. Cada dado acrescenta faces ao histograma e a média da soma cresce 3,5.
• Use Lançar 1, Lançar 10, Lançar 100 ou Lançar N de uma vez para acumular jogadas. Os números no painel e as barras são sempre o mesmo acumulado.
• Em "Soma em destaque", escolha uma soma e compare a probabilidade exata, em fração, com a frequência observada.

Aplicações

• Jogos de tabuleiro e RPG: a chance de um resultado com dois dados ou de um teste de habilidade é exatamente essa distribuição.
• Seguros e atuária: a média e a variância de somas de riscos independentes orientam os prêmios.
• Controle de qualidade: somas de pequenas variações de fabricação seguem, aproximadamente, uma distribuição em forma de sino quando há muitas causas.

Curiosidades

• A soma de muitos dados tende a uma curva em sino, mesmo que cada dado seja uniforme. Esse é o teorema central do limite, a razão pela qual tantas medidas reais parecem normais.
• Com três dados, as somas 10 e 11 empatam com 27 combinações cada, de um total de 216.
• Os primeiros estudos sistemáticos sobre probabilidade com dados são de Cardano, no século XVI, e de Pascal e Fermat, em 1654, a partir de problemas de apostas.