Círculo dos nove pontos e reta de Euler

Círculo dos nove pontos e reta de Euler

Dado um triângulo ABC, existem nove pontos notáveis que estão sobre um mesmo círculo, o círculo dos nove pontos. Os nove pontos são:

• os pontos médios dos três lados: Ma (de BC), Mb (de CA) e Mc (de AB);
• os pés das alturas: Da, Db e Dc, onde cada altura encontra o lado oposto;
• os pontos médios dos segmentos que ligam cada vértice ao ortocentro H: Ea (de AH), Eb (de BH) e Ec (de CH).

Arraste os vértices A, B e C. Os nove pontos sempre continuam sobre o mesmo círculo, mesmo quando o triângulo muda de tipo.

O que observar

• O raio do círculo dos nove pontos é metade do circunraio: r9 = R / 2. A razão r9 / R fica sempre em 0,5.
• O centro N do círculo dos nove pontos é o ponto médio de OH, em que O é o circuncentro e H é o ortocentro. Por isso ON = NH, e a razão ON : NH vale 1 em qualquer triângulo.
• O centro N, o baricentro G, o circuncentro O e o ortocentro H estão alinhados sobre a reta de Euler. Nesse alinhamento, OG : GH = 1 : 2, como visto na aula do triângulo.
• Quando o triângulo é retângulo, o ortocentro H coincide com o vértice do ângulo reto, e vários dos nove pontos se confundem.

Fórmulas e por que valem

Seja H = A + B + C − 2O (com O na origem ou em coordenadas gerais). O centro é N = (O + H) / 2.

A demonstração mais direta usa uma homotetia de centro H e razão 1/2. Ela leva cada vértice ao ponto médio do segmento que liga o vértice ao ortocentro, ou seja, leva A, B e C a Ea, Eb e Ec. Como a homotetia transforma o circuncírculo (centro O, raio R) em um círculo de centro (O + H) / 2 = N e raio R / 2, os pontos Ea, Eb e Ec ficam sobre o círculo de centro N e raio R / 2.

Os pontos médios Ma, Mb e Mc formam o triângulo medial, que é a imagem de ABC pela homotetia de centro G e razão −1/2. Essa homotetia leva O ao ponto (3G − O) / 2, que vale (O + H) / 2 = N, porque 3G = A + B + C = H + 2O. Logo o círculo de Ma, Mb e Mc tem centro N e raio R / 2.

Os pés das alturas completam o círculo por outro argumento. Por exemplo, o pé Db enxerga o segmento AH sob ângulo reto, porque a altura de B é perpendicular a CA e passa por H. Assim Db está sobre o círculo de diâmetro AH, cujo centro é Ea. A prova completa combina essas relações com as homotetias acima; aqui basta saber que o resultado vale para todos os nove pontos.

Em resumo: os pontos Ea, Eb e Ec e os pontos Ma, Mb e Mc estão a distância R / 2 de N, e os pés das alturas também, pelo argumento do círculo de diâmetro AH. Por isso os nove pontos são concíclicos.

Por que isso importa

O resultado é um exemplo de como um mesmo objeto (o triângulo) carrega vários centros de simetria que se relacionam por contas simples. Em vez de decorar nove pontos, basta conhecer O, H e R: N é o meio de OH e o raio é R / 2.

Aplicações

• Construção com régua e compasso: como o centro N e o raio R / 2 são conhecidos após achar O e H, o círculo pode ser traçado sem descobrir os nove pontos um a um.
• Triângulo de Feuerbach: o círculo dos nove pontos é tangente ao incírculo e aos três excírculos. Esse é o teorema de Feuerbach, um dos resultados mais bonitos da geometria do triângulo.
• Problemas de olimpíada: quando um enunciado pede que três pontos sejam concíclicos, procurar o círculo dos nove pontos é uma boa primeira hipótese.

Curiosidade

O círculo dos nove pontos também é chamado de círculo de Euler ou círculo de Feuerbach, em homenagem a Karl Wilhelm Feuerbach, que o estudou em 1822. Ele mostrou que o círculo é tangente ao incírculo e aos três excírculos, e essa tangência tripla é conhecida como ponto de Feuerbach. Seu nome em inglês, nine-point circle, reflete a contagem dos pontos notáveis.