Ângulos, complementares e paralelas cortadas por transversal

Ângulos, complementares e paralelas cortadas por transversal

Um ângulo é a abertura entre duas semirretas que partem de um mesmo ponto, o vértice. Mede-se em graus: uma volta completa tem 360°, meia volta tem 180° e um quarto de volta tem 90°.

Tipos de ângulo

• Nulo: 0°. As semirretas coincidem.
• Agudo: entre 0° e 90°.
• Reto: exatamente 90°. É o ângulo dos cantos de um quadrado.
• Obtuso: entre 90° e 180°.
• Raso: 180°. Forma uma reta.
• Reflexo: entre 180° e 360°.
• Completo: 360°. Dá a volta inteira.

Complementares e suplementares

Dois ângulos são complementares quando somam 90°, e suplementares quando somam 180°. Assim, o complementar de α é 90° - α e o suplementar é 180° - α. Um ângulo só tem complementar se α ≤ 90°, e só tem suplementar se α ≤ 180°. Fora disso, o valor não existe, e a calculadora diz isso em vez de mostrar um número negativo.

O replementar, de 360° - α, serve para ângulos reflexos e completa a volta.

Para converter graus em radianos, multiplique por π/180. Assim, 180° é π radianos e 90° é π/2.

Duas paralelas cortadas por uma transversal

Quando uma reta transversal corta duas paralelas, surgem oito ângulos. Chamamos de θ o ângulo da transversal com a horizontal. Só dois valores aparecem: θ e 180° - θ. Ângulos que estão na mesma posição relativa a cada reta são iguais ou suplementares, conforme o caso.

Os pares têm nomes:

• Correspondentes: ocupam a mesma posição em cada reta (por exemplo, acima e à esquerda das duas). São iguais.
• Alternos internos: ficam entre as paralelas e em lados opostos da transversal. São iguais.
• Alternos externos: ficam fora das paralelas e em lados opostos. São iguais.
• Colaterais internos: ficam entre as paralelas e do mesmo lado da transversal. Somam 180°.
• Colaterais externos: ficam fora das paralelas e do mesmo lado. Somam 180°.

Por que é verdade

Os correspondentes são iguais porque cada reta passa pelo mesmo ângulo de inclinação em relação à transversal; as paralelas têm a mesma direção, então a transversal forma com elas ângulos idênticos. Os alternos internos são iguais por um argumento de simetria: a rotação de 180° em torno do centro entre as paralelas leva um ao outro. Os colaterais internos somam 180° porque, junto com a reta da linha de cima, formam um ângulo raso.

Aplicações

• Engenharia e arquitetura: vigas, trilhos de trem e ruas paralelas cortadas por uma diagonal.
• Desenho técnico: a projeção de um objeto usa ângulos correspondentes para manter as linhas paralelas.
• Navegação: o rumo de um navio é medido como ângulo em relação ao meridiano. Os meridianos não são paralelos, pois convergem nos polos; por isso essas regras valem apenas localmente.

Curiosidade

Os gregos antigos já usavam a soma dos ângulos internos para provar que a soma dos ângulos de um triângulo vale 180°: basta traçar uma paralela por um vértice e aplicar os alternos internos.