Trigonometria no triângulo retângulo: seno, cosseno e tangente

Trigonometria no triângulo retângulo

A trigonometria estuda a relação entre os lados e os ângulos de um triângulo. Ela começa no triângulo retângulo, com três razões que dependem só do ângulo agudo α.

Nomes dos lados

Num triângulo retângulo, o ângulo reto fica no vértice B, e o ângulo α fica no vértice A. Então:

• Hipotenusa c: o lado oposto ao ângulo reto (o maior deles).
• Cateto oposto a: o lado oposto ao ângulo α.
• Cateto adjacente b: o lado que forma o ângulo α junto com a hipotenusa.

As três razões

sen α = cateto oposto / hipotenusa = a / c

cos α = cateto adjacente / hipotenusa = b / c

tg α = cateto oposto / cateto adjacente = a / b

Essas razões dependem apenas de α: triângulos semelhantes têm as mesmas razões. Por isso uma tabela de senos e cossenos serve para qualquer triângulo com o mesmo ângulo.

Relações úteis

• Relação fundamental: sen² α + cos² α = 1. É o Teorema de Pitágoras dividido por c².
• Tangente: tg α = sen α / cos α.
• Complementares: para β = 90° - α, vale sen β = cos α e cos β = sen α. O cateto oposto a α é o adjacente a β.

Círculo trigonométrico

Desenhe uma circunferência de raio 1 com centro na origem. Um ângulo α a partir do eixo horizontal leva ao ponto P = (cos α; sen α). Assim:

• cos α é a projeção de P sobre o eixo horizontal;
• sen α é a projeção de P sobre o eixo vertical;
• tg α é a altura, sobre a tangente em (1; 0), do ponto em que a reta OP a corta.

A relação fundamental aparece direto: o ponto P está sobre a circunferência de raio 1, então cos² α + sen² α = 1.

Como resolver um triângulo

Dados dois elementos (com pelo menos um lado), os demais saem:

• Com a hipotenusa e α: a = c sen α e b = c cos α.
• Com dois catetos: c = √(a² + b²) e α = arctg(a / b).
• Com a hipotenusa e um cateto: o outro cateto vem de Pitágoras.

A hipotenusa precisa ser maior que qualquer cateto. Se não for, não existe triângulo, e a calculadora diz isso.

Aplicações

• Topografia e navegação: a altura de um prédio é a tangente do ângulo de elevação vezes a distância até a base.
• Engenharia: a força de uma viga inclinada se decompõe em componentes com seno e cosseno.
• Ondas e som: o som e a luz de um ciclo são senos e cossenos, pelo mesmo círculo trigonométrico.

Curiosidade

A palavra "seno" vem de uma tradução errada. Os indianos chamavam a corda de metade do arco de "jiva"; os árabes a transcreveram como "jiba", que foi lido como "jaib", ou seja, "dobra", e em latim virou "sinus". A palavra "tangente" vem do latim "tangere", tocar, porque a reta toca o círculo em um só ponto.